Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a:
sumk=0^n t^k, 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma sequência quando tende para o infinito. A sequência é dada pela soma , onde . O conteúdo aqui envolve progressões geométricas e limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma progressão geométrica e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. No caso, cada termo é Sn = sumk=0^n t^k = 1 - t^n+11 - t vezes o anterior. A soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser calculada pela fórmula:
Essa fórmula ajuda a simplificar a soma dos termos de 0 até .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite dessa soma quando limn +infty an = limn +infty 1 - t^n+11 - t vai para o infinito. Ou seja:
Como , sabemos que tende a zero quando cresce indefinidamente. Isso porque estaríamos multiplicando por ele mesmo muitas vezes, cada vez ficando menor.

Passo 4

Substituindo limn +infty 1 - t^n+11 - t = 1 - 01 - t = 11 - t por zero no limite, temos:
Portanto, o limite da sequência é simplesmente .

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados