Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma sequência
quando
tende para o infinito. A sequência é dada pela soma
, onde
. O conteúdo aqui envolve progressões geométricas e limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma progressão geométrica e aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. No caso, cada termo é
vezes o anterior. A soma dos termos de uma progressão geométrica finita pode ser calculada pela fórmula:
Essa fórmula ajuda a simplificar a soma dos termos de 0 até
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite dessa soma quando
vai para o infinito. Ou seja:
Como
, sabemos que
tende a zero quando
cresce indefinidamente. Isso porque estaríamos multiplicando
por ele mesmo muitas vezes, cada vez ficando menor.
Passo 4
Substituindo
por zero no limite, temos:
Portanto, o limite da sequência
é simplesmente
.
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a parte superior da esfera
Represente, no plano xy as curvas de nível:
Prove as relações: