Prove as relações:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a divergência de um produto entre uma função escalar
e um campo vetorial
é igual a
vezes a divergência de
mais o produto escalar de
com o gradiente de
. Para isso, vamos usar as definições e propriedades da operação de divergência e do gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da divergência de um campo vetorial. Se
, então:
Passo 3
Aplicando isso ao produto
, temos:
Passo 4
Agora, usamos a regra do produto para derivadas parciais. Por exemplo, para a primeira componente:
Fazemos o mesmo para as outras componentes:
Passo 5
Somando todas as componentes derivadas, obtemos:
Passo 6
Reconhecemos que:
E que:
Resposta
Portanto, concluímos que: