Prove as relações:
nabla . (f F) = f nabla . F + F . nabla f

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a divergência de um produto entre uma função escalar e um campo vetorial é igual a vezes a divergência de mais o produto escalar de com o gradiente de . Para isso, vamos usar as definições e propriedades da operação de divergência e do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da divergência de um campo vetorial. Se , então:

Passo 3

Aplicando isso ao produto , temos:

Passo 4

Agora, usamos a regra do produto para derivadas parciais. Por exemplo, para a primeira componente:
Fazemos o mesmo para as outras componentes:

Passo 5

Somando todas as componentes derivadas, obtemos:

Passo 6

Reconhecemos que:
E que:

Resposta

Portanto, concluímos que:

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