Use o Teorema de Stokes para calcular
onde e é a parte superior da esfera

Passo 1

Vamos lá! Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é a parte superior da esfera . O campo vetorial dado é . Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e parametrizar a curva que delimita a superfície .

Passo 2

O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha desse campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é expresso por:
Aqui, é a curva que delimita a superfície . No nosso caso, é a parte superior da esfera, então será o círculo na base da hemisfério.

Passo 3

Vamos identificar a curva . Como é a parte superior da esfera , sua borda está no plano . Portanto, é o círculo unitário no plano :

Passo 4

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva . Podemos usar coordenadas polares no plano :
A derivada dessa parametrização em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o campo vetorial ao longo da curva . Substituindo na expressão de :
Usando a parametrização de :
Então,

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, integramos de a :
Fazendo a substituição , temos . Os limites de integração permanecem de 1 a 1, já que . Assim:

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Represente, no plano xy as curvas de nível:
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Calcule, caso exista, , sendo igual a: