Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a parte superior da esfera
Passo 1
Vamos lá! Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral da rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é a parte superior da esfera
. O campo vetorial dado é
. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e parametrizar a curva que delimita a superfície
.
Passo 2
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha desse campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é expresso por:
Aqui,
é a curva que delimita a superfície
. No nosso caso,
é a parte superior da esfera, então
será o círculo na base da hemisfério.
Passo 3
Vamos identificar a curva
. Como
é a parte superior da esfera
, sua borda
está no plano
. Portanto,
é o círculo unitário no plano
:
Passo 4
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva
. Podemos usar coordenadas polares no plano
:
A derivada dessa parametrização em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
ao longo da curva
. Substituindo
na expressão de
:
Usando a parametrização de
:
Então,
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos de
a
:
Fazendo a substituição
, temos
. Os limites de integração permanecem de 1 a 1, já que
. Assim:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Represente, no plano xy as curvas de nível:
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a: