Use o Teorema de Stokes para calcular
oiintS nabla times F cdot d S
onde F=(e^x y cos z, x^2 z, x y) e S é a parte superior da esfera
x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

Vamos lá! Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é a parte superior da esfera . O campo vetorial dado é . Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e parametrizar a curva que delimita a superfície .

Passo 2

O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha desse campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é expresso por:
oiintS (nabla times F) cdot dS = ointC F cdot dr
Aqui, é a curva que delimita a superfície . No nosso caso, é a parte superior da esfera, então será o círculo na base da hemisfério.

Passo 3

Vamos identificar a curva x^2 + y^2 = 1 e z = 0 . Como é a parte superior da esfera , sua borda está no plano . Portanto, é o círculo unitário no plano :

Passo 4

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva r(theta) = (cos theta, sin theta, 0), theta in [0, 2pi] . Podemos usar coordenadas polares no plano drdtheta = (-sin theta, cos theta, 0) :
A derivada dessa parametrização em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F = (e^x y cos 0, x^2 cdot 0, x y) = (e^x y, 0, x y) ao longo da curva x = cos theta, y = sin theta, z = 0 . Substituindo F(theta) = (e^cos theta sin theta, 0, cos theta sin theta) na expressão de :
Usando a parametrização de :
Então,

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F cdot drdtheta = e^cos theta sin theta cdot (-sin theta) + 0 cdot cos theta + cos theta sin theta cdot 0 = -e^cos theta sin theta sin theta :

Passo 7

Finalmente, integramos de ointC F cdot dr = integral0^2pi -e^cos theta sin theta sin theta , dtheta a integral0^2pi -e^cos theta sin theta sin theta , dtheta = integral1^1 e^u cdot 0 , du = integral1^1 1 , du = 0 :
Fazendo a substituição , temos . Os limites de integração permanecem de 1 a 1, já que . Assim:

Resposta

A integral é igual a 0.

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