Represente, no plano xy as curvas de nível:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para representar, no plano xy, as curvas de nível da função para , e . Isso pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo das curvas de nível. Para resolver, vamos entender o que são curvas de nível e como encontrar suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, a curva de nível para é dada pela equação:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , temos que para cada valor de , a curva de nível será definida por:
Vamos analisar cada valor de solicitado: 0, 9 e -9.

Passo 4

Para :
Isso significa que ou ou . Portanto, as curvas de nível para são os eixos coordenados:
  • O eixo x ( )
  • O eixo y ( )

Passo 5

Para :
Essa é a equação de uma hipérbole. Podemos reescrever a equação isolando :
Isso representa uma hipérbole com ramos nos quadrantes I e III do plano xy.

Passo 6

Para :
Novamente, isolando :
Essa também é uma hipérbole, mas com ramos nos quadrantes II e IV do plano xy.

Passo 7

Resumindo:
  • Para , temos as retas dos eixos x e y.
  • Para , temos uma hipérbole nos quadrantes I e III.
  • Para , temos uma hipérbole nos quadrantes II e IV.

Resposta

As curvas de nível da função no plano xy são:
  • Para : os eixos x e y.
  • Para : uma hipérbole com ramos nos quadrantes I e III.
  • Para : uma hipérbole com ramos nos quadrantes II e IV.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Prove as relações:
Calcule o limite , se: