Represente, no plano xy as curvas de nível:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para representar, no plano xy, as curvas de nível da função
para
,
e
. Isso pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo das curvas de nível. Para resolver, vamos entender o que são curvas de nível e como encontrar suas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, a curva de nível para
é dada pela equação:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, temos que para cada valor de
, a curva de nível será definida por:
Vamos analisar cada valor de
solicitado: 0, 9 e -9.
Passo 4
Para
:
Isso significa que ou
ou
. Portanto, as curvas de nível para
são os eixos coordenados:
- O eixo x (
) - O eixo y (
)
Passo 5
Para
:
Essa é a equação de uma hipérbole. Podemos reescrever a equação isolando
:
Isso representa uma hipérbole com ramos nos quadrantes I e III do plano xy.
Passo 6
Para
:
Novamente, isolando
:
Essa também é uma hipérbole, mas com ramos nos quadrantes II e IV do plano xy.
Passo 7
Resumindo:
- Para
, temos as retas dos eixos x e y. - Para
, temos uma hipérbole nos quadrantes I e III. - Para
, temos uma hipérbole nos quadrantes II e IV.
Resposta
As curvas de nível da função
no plano xy são:
- Para
: os eixos x e y. - Para
: uma hipérbole com ramos nos quadrantes I e III. - Para
: uma hipérbole com ramos nos quadrantes II e IV.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Prove as relações:
Calcule o limite
, se: