Verifique se os campos a seguir são conservativos:
F(x, y, z) = (ln(x), ln(xy), ln(xyz)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matemática, especificamente em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se existe uma função escalar, chamada potencial, cuja derivada em relação a cada variável dá os componentes do campo. Em termos matemáticos, isso significa que , onde nabla phi é o gradiente da função potencial phi.

Passo 3

Uma das maneiras de verificar se um campo vetorial é conservativo é calcular o rotacional do campo, ou seja, . Se o rotacional for igual a zero em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo).

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F:
O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. (já que não depende de z)
  2. (já que ln x não depende de z)
  3. (já que ln x não depende de y)
Portanto:

Passo 5

Agora, observamos o rotacional obtido:
Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser o vetor nulo, ou seja:
Essas equações somente são satisfeitas para todos os (x, y, z) se e , ou seja, x = 1 e . Porém, queremos que o rotacional seja zero em todo o domínio, o que não acontece a menos que restrinjamos o domínio a esses valores específicos, o que não é o caso geral.

Resposta

Como o rotacional de F não é zero em todo o domínio, concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

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