Verifique se os campos a seguir são conservativos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matemática, especificamente em cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se existe uma função escalar, chamada potencial, cuja derivada em relação a cada variável dá os componentes do campo. Em termos matemáticos, isso significa que
, onde
é o gradiente da função potencial
.
Passo 3
Uma das maneiras de verificar se um campo vetorial é conservativo é calcular o rotacional do campo, ou seja,
. Se o rotacional for igual a zero em todo o domínio considerado, então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo).
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
-
(já que não depende de ) -
(já que não depende de ) -
-
-
(já que não depende de )
Portanto:
Passo 5
Agora, observamos o rotacional obtido:
Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser o vetor nulo, ou seja:
Essas equações somente são satisfeitas para todos os
se
e
, ou seja,
e
. Porém, queremos que o rotacional seja zero em todo o domínio, o que não acontece a menos que restrinjamos o domínio a esses valores específicos, o que não é o caso geral.
Resposta
Como o rotacional de
não é zero em todo o domínio, concluímos que o campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a parte superior da esfera
Represente, no plano xy as curvas de nível:
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Represente, no plano xy as curvas de nível: