Calcule, caso exista,
, sendo
igual a
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite, quando
tende ao infinito, da sequência
, que é definida pela integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de funções exponenciais e como os limites se comportam quando a variável tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida
. A função que vamos integrar é
, onde
é uma constante positiva.
A integral de
em relação a
é:
Aqui,
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Como
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito:
Vamos analisar os componentes dessa expressão:
-
é uma constante, pois . -
tende a quando tende ao infinito, porque estamos exponenciando um número negativo que fica cada vez menor.
Portanto:
Resposta
Assim, substituindo de volta, temos:
Então, o limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a
f)
f)
Calcule
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
v)
v)