Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a
i) integral0^n e^-s x d x(s>0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite, quando an = integral0^n e^-s x , dx (s > 0) tende ao infinito, da sequência , que é definida pela integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de funções exponenciais e como os limites se comportam quando a variável tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida integral e^-s x , dx = -1s e^-s x + C . A função que vamos integrar é , onde é uma constante positiva.
A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de an = [ -1s e^-s x ]0^n = ( -1s e^-s n ) - ( -1s e^0 ) a an = -1s e^-s n + 1s e^0 :
an = 1s ( 1 - e^-s n )
Simplificando:
Como :

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite de limn to +infty an = limn to +infty 1s ( 1 - e^-s n ) quando limn to +infty e^-s n = 0 tende ao infinito:
Vamos analisar os componentes dessa expressão:
  • é uma constante, pois .
  • tende a quando tende ao infinito, porque estamos exponenciando um número negativo que fica cada vez menor.
Portanto:

Resposta

Assim, substituindo de volta, temos:
limn to +infty an = 1s ( 1 - 0 ) = 1s
Então, o limite é .

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