Calcule integral|x-4| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a integral de |x - 4| em relação a x. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto se comporta e dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função |x - 4|. O valor absoluto de (x - 4) significa que, dependendo do valor de x, a expressão dentro do valor absoluto pode ser positiva ou negativa. Precisamos encontrar o ponto onde (x - 4) muda de sinal, ou seja, quando x - 4 = 0. Isso acontece quando x = 4.

Passo 3

Agora que sabemos que x = 4 é o ponto crítico, vamos dividir a integral em duas partes: uma onde x < 4 e outra onde x ≥ 4.
Para x < 4, (x - 4) é negativo, então |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x.
Para x ≥ 4, (x - 4) é positivo, então |x - 4| = x - 4.

Passo 4

Vamos então escrever a integral como a soma das duas integrais separadas:
integral |x - 4| , dx = integrala^4 (4 - x) , dx + integral4^b (x - 4) , dx
Onde a e b são os limites de integração. Se não houver limites específicos, podemos encontrar a antiderivada geral.

Passo 5

Vamos encontrar a antiderivada de cada parte:
Para a primeira parte:
integral (4 - x) , dx = 4x - x^22 + C1
Para a segunda parte:
integral (x - 4) , dx = x^22 - 4x + C2
Como estamos encontrando a antiderivada geral, podemos combinar as constantes C₁ e C₂ em uma única constante C.

Passo 6

Portanto, a integral de |x - 4| dx é:
integral |x - 4| , dx = 4x - x^22 + C, & se x < 4 x^22 - 4x + C, & se x >= 4

Resposta

A integral de |x - 4| dx é:
integral |x - 4| , dx = 4x - dfracx^22 + C, & se x < 4 dfracx^22 - 4x + C, & se x >= 4
Onde C é a constante de integração.

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