Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
v)
v)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente tratando de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam perto de
e utilizar algum método de simplificação, como a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Esse resultado é uma indeterminação, o que significa que precisamos usar outra técnica para encontrar o limite. A regra de L’Hôpital é perfeita para esses casos.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
em relação a
:
Derivada do denominador
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na nossa expressão original:
Agora, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Como
está se aproximando de 0, a expressão
se aproxima de
. Então, temos:
Resposta
O limite é
.
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, sendo
igual a
i)
i)
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