Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente tratando de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam perto de e utilizar algum método de simplificação, como a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão:
Esse resultado é uma indeterminação, o que significa que precisamos usar outra técnica para encontrar o limite. A regra de L’Hôpital é perfeita para esses casos.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador em relação a :
Derivada do denominador em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na nossa expressão original:
Agora, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Como está se aproximando de 0, a expressão se aproxima de . Então, temos:

Resposta

O limite é .

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