Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a:
(n+2n+1)^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções do tipo se comportam quando cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para torná-la mais fácil de trabalhar. Observamos que:
n+2n+1 = 1 + 1n+1
Então, a sequência an = (1 + 1n+1)^n pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com uma famosa propriedade dos limites que envolve o número limm to infty (1 + 1m)^m = e . Sabemos que:
an = (1 + 1m)^m-1
No nosso caso, podemos fazer uma comparação direta. Aqui, temos , então conforme tende ao infinito, também tende ao infinito. Assim, podemos reescrever da seguinte maneira:

Passo 4

Vamos separar a expressão para facilitar a análise do limite:
an = (1 + 1m)^m times (1 + 1m)^-1
Sabemos que limm to infty an = e times 1 = e tende a e que tende a 1 quando tende ao infinito. Portanto, o produto dessas duas expressões será:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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