Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos encontrar a área da região delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, decidindo se vamos integrar em relação a ou a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam:
  • : É uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
  • : É uma parábola que abre para cima e também passa pela origem.
  • e : São linhas verticais que interceptam o eixo nos pontos -1 e 2, respectivamente.
Vamos encontrar onde as curvas e se intersectam. Igualando :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos decidir se integramos em relação a ou a . Observando as curvas, integrar em relação a parece mais simples, já que a região está claramente limitada entre e , e para cada temos valores de definidos.

Passo 4

Vamos visualizar a região e desenhar um retângulo aproximante típico. Para um valor de dentro de , a altura do retângulo será a diferença entre as curvas superiores e inferiores:
  • De a , a curva superior é e a inferior é .
  • De a , a curva superior é e a inferior é .
A largura do retângulo será um pequeno incremento .

Passo 5

Vamos dividir a integração em duas partes para facilitar:
  1. De a :
    • Curva superior:
    • Curva inferior:
  2. De a :
    • Curva superior:
    • Curva inferior:

Passo 6

Agora, vamos montar as integrais para calcular a área:
Á
Aqui, e representam a altura dos retângulos em cada intervalo.

Passo 7

Vamos calcular cada integral:
  1. Integral de a :
Calculando nos limites:
  1. Integral de a :
Calculando nos limites:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.


Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Calcule se e é a superficie superior da esfera .