Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: queremos encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, decidindo se vamos integrar em relação a
ou a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam:
-
: É uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus. -
: É uma parábola que abre para cima e também passa pela origem. -
e : São linhas verticais que interceptam o eixo nos pontos -1 e 2, respectivamente.
Vamos encontrar onde as curvas
e
se intersectam. Igualando
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos decidir se integramos em relação a
ou a
. Observando as curvas, integrar em relação a
parece mais simples, já que a região está claramente limitada entre
e
, e para cada
temos valores de
definidos.
Passo 4
Vamos visualizar a região e desenhar um retângulo aproximante típico. Para um valor de
dentro de
, a altura do retângulo será a diferença entre as curvas superiores e inferiores:
- De
a , a curva superior é e a inferior é . - De
a , a curva superior é e a inferior é .
A largura do retângulo será um pequeno incremento
.
Passo 5
Vamos dividir a integração em duas partes para facilitar:
-
De
a : - Curva superior:
- Curva inferior:
- Curva superior:
-
De
a : - Curva superior:
- Curva inferior:
- Curva superior:
Passo 6
Agora, vamos montar as integrais para calcular a área:
Aqui,
e
representam a altura dos retângulos em cada intervalo.
Passo 7
Vamos calcular cada integral:
- Integral de
a :
Calculando nos limites:
- Integral de
a :
Calculando nos limites:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Calcule
se
e
é a superficie superior da esfera
.