Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
. Queremos calcular o rotacional desse campo vetorial. O rotacional, ou curl, é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo “gira” em torno de cada ponto no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
A fórmula do rotacional de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais necessárias para a fórmula do rotacional.
Passo 4
Calculemos cada derivada parcial:
-
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
-
-
(pois não depende de )
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando isso, temos:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
é: