Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.
Passo 1
Beleza, a gente vai calcular o laplaciano de dois campos escalares e de um campo vetorial. O laplaciano é uma operação que envolve derivadas parciais e ajuda a entender como uma função se comporta no espaço. Vamos precisar saber calcular derivadas de segunda ordem e entender como aplicar isso tanto em funções escalares quanto em vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o laplaciano do primeiro campo escalar:
O laplaciano
é a soma das segundas derivadas em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos derivar em relação a
:
Passo 4
Agora, derivamos em relação a
:
Passo 5
Por fim, derivamos em relação a
:
Passo 6
Agora, somamos as segundas derivadas para obter o laplaciano:
Passo 7
Agora, vamos calcular o laplaciano do segundo campo escalar:
Passo 8
Derivando em relação a
:
Passo 9
Derivando em relação a
:
Passo 10
Derivando em relação a
:
Passo 11
Somando as segundas derivadas:
Passo 12
Agora, vamos calcular o laplaciano do campo vetorial:
O laplaciano de um vetor é o laplaciano de cada componente.
Passo 13
Calculando para a primeira componente
:
Passo 14
Calculando para a segunda componente
:
Passo 15
Calculando para a terceira componente
:
Resposta
O laplaciano dos campos escalares e vetorial são:
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
;
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a: