Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.


Passo 1

Beleza, a gente vai calcular o laplaciano de dois campos escalares e de um campo vetorial. O laplaciano é uma operação que envolve derivadas parciais e ajuda a entender como uma função se comporta no espaço. Vamos precisar saber calcular derivadas de segunda ordem e entender como aplicar isso tanto em funções escalares quanto em vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o laplaciano do primeiro campo escalar:
O laplaciano é a soma das segundas derivadas em relação a , e .

Passo 3

Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, somamos as segundas derivadas para obter o laplaciano:

Passo 7

Agora, vamos calcular o laplaciano do segundo campo escalar:

Passo 8

Derivando em relação a :

Passo 9

Derivando em relação a :

Passo 10

Derivando em relação a :

Passo 11

Somando as segundas derivadas:

Passo 12

Agora, vamos calcular o laplaciano do campo vetorial:
O laplaciano de um vetor é o laplaciano de cada componente.

Passo 13

Calculando para a primeira componente :

Passo 14

Calculando para a segunda componente :

Passo 15

Calculando para a terceira componente :

Resposta

O laplaciano dos campos escalares e vetorial são:

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
;
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.
Calcule, caso exista, , sendo igual a: