Calcule, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a:
e^n+e^-ne^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite quando tende ao infinito para a sequência . Vamos usar conceitos de limites de funções exponenciais e simplificação de expressões para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as potências de na expressão. Sabemos que conforme aumenta, cresce muito rápido, enquanto tende a zero. No denominador, também cresce muito rápido, superando o 1. Então, podemos simplificar a expressão focando nos termos que realmente impactam o limite.

Passo 3

Vamos dividir o numerador e o denominador por an = e^n + e^-ne^2n - 1 = e^n/e^n + e^-n/e^ne^2n/e^n - 1/e^n = 1 + e^-2ne^n - e^-n para simplificar:

Passo 4

Agora, observamos que an approx 1 + 0e^n - 0 = 1e^n e tendem a zero quando vai para o infinito. Assim, a expressão se simplifica para:

Passo 5

Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito. Portanto, tende a zero.

Resposta

limn to +infty an = 0

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