Calcule integral duplaS F cdot d S se F=(x z^2, x^2 y-z^3, 2 x y+y^2 z) e S é a superficie superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a superfície superior da esfera . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que a integral de fluxo da função vetorial sobre a superfície é igual à integral do divergente de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partialpartial x(x z^2) + partialpartial y(x^2 y - z^3) + partialpartial z(2 x y + y^2 z) . O divergente partialpartial x(x z^2) = z^2 é dado por:
partialpartial y(x^2 y - z^3) = x^2
Calculando cada termo:
partialpartial z(2 x y + y^2 z) = y^2
nabla cdot F = z^2 + x^2 + y^2
Então:

Passo 4

Agora, queremos integrar x = rho sinphi costheta sobre o volume da metade superior da esfera y = rho sinphi sintheta . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
z = rho cosphi
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Na nossa região, integral triplaV (x^2 + y^2 + z^2) , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^a rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta varia de 0 a , varia de 0 a e varia de 0 a (já que estamos considerando apenas a metade superior da esfera). Então, a integral se torna:
Aqui, , então multiplicamos por .

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em integral0^a rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^a = a^55 :

Passo 7

Depois, a integral em integral0^pi2 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1 :

Passo 8

Por último, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 9

Multiplicando todos os resultados:
a^55 times 1 times 2pi = 2pi a^55

Resposta

Portanto, a integral de superfície é igual a .

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