Calcule se e é a superficie superior da esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a superfície superior da esfera . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que a integral de fluxo da função vetorial sobre a superfície é igual à integral do divergente de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Vamos calcular o divergente de . O divergente é dado por:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, queremos integrar sobre o volume da metade superior da esfera . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Na nossa região, varia de 0 a , varia de 0 a e varia de 0 a (já que estamos considerando apenas a metade superior da esfera). Então, a integral se torna:
Aqui, , então multiplicamos por .

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em :

Passo 7

Depois, a integral em :

Passo 8

Por último, a integral em :

Passo 9

Multiplicando todos os resultados:

Resposta

Portanto, a integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, , sendo igual a:
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Verifique se os campos a seguir são conservativos: