Calcule
se
e
é a superficie superior da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície superior da esfera
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que a integral de fluxo da função vetorial
sobre a superfície
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
. O divergente
é dado por:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, queremos integrar
sobre o volume da metade superior da esfera
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Na nossa região,
varia de 0 a
,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
(já que estamos considerando apenas a metade superior da esfera). Então, a integral se torna:
Aqui,
, então multiplicamos por
.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Passo 7
Depois, a integral em
:
Passo 8
Por último, a integral em
:
Passo 9
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
Portanto, a integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
.
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Verifique se os campos a seguir são conservativos: