Calcule, caso exista,
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função quando as variáveis
e
se aproximam de zero. O exercício está na área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar a expressão dada e usar algumas técnicas de limite para ver se conseguimos chegar a uma resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela está definida de duas formas:
Queremos calcular o seguinte limite:
Como
(quando
,
), a expressão simplifica para:
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na fórmula do limite:
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa fração quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos analisar cada termo separadamente.
Passo 5
Para o primeiro termo:
Esse termo representa o cosseno do ângulo polar (
) na representação em coordenadas polares, que está limitado entre -1 e 1. À medida que
se aproxima de
, esse termo não apresenta problemas e fica limitado.
Passo 6
Para o segundo termo:
Sabemos que para qualquer
. Então, podemos afirmar que:
Isso significa que esse termo também está limitado entre -1 e 1.
Passo 7
Agora, observamos que ambos os termos são limitados e, conforme
se aproxima de
, os termos
e
tendem a valores finitos.
Além disso, como oscila entre -1 e 1, o segundo termo não afeta o limite geral de forma significativa.
Passo 8
Portanto, combinando tudo, percebemos que a soma dos dois termos também estará limitada e, na verdade, se aproxima de zero quando
se aproxima de
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Prove (usando a definição):
Calcule as integrais indefinidas:
Prove (usando a definição):