Calcule, caso exista, , onde:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função quando as variáveis e se aproximam de zero. O exercício está na área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar a expressão dada e usar algumas técnicas de limite para ver se conseguimos chegar a uma resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela está definida de duas formas:
Queremos calcular o seguinte limite:
Como (quando , ), a expressão simplifica para:

Passo 3

Vamos substituir a expressão de na fórmula do limite:
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa fração quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos analisar cada termo separadamente.

Passo 5

Para o primeiro termo:
Esse termo representa o cosseno do ângulo polar ( ) na representação em coordenadas polares, que está limitado entre -1 e 1. À medida que se aproxima de , esse termo não apresenta problemas e fica limitado.

Passo 6

Para o segundo termo:
Sabemos que para qualquer . Então, podemos afirmar que:
Isso significa que esse termo também está limitado entre -1 e 1.

Passo 7

Agora, observamos que ambos os termos são limitados e, conforme se aproxima de , os termos e tendem a valores finitos.
Além disso, como oscila entre -1 e 1, o segundo termo não afeta o limite geral de forma significativa.

Passo 8

Portanto, combinando tudo, percebemos que a soma dos dois termos também estará limitada e, na verdade, se aproxima de zero quando se aproxima de .

Resposta

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Prove (usando a definição):
Calcule as integrais indefinidas:
Prove (usando a definição):