Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
f(x, y)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Ok, bora lá! Temos a função definida de duas maneiras: para qualquer ponto diferente de , a função é , e no ponto , a função vale 0. O que queremos descobrir é em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade em várias variáveis e como aplicar isso à nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b) ser contínua em , precisamos que:
Vamos aplicar isso para nossa função.

Passo 3

Vamos analisar primeiro os pontos onde . Nessas regiões, a função é . Sabemos que essa expressão é contínua porque tanto o seno quanto o denominador são funções contínuas quando . Portanto, a função é contínua em todos os pontos diferentes de .

Passo 4

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 0.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
lim(x,y) to (0,0) sin(x^2 + y^2)x^2 + y^2
Sabemos que . Aqui, , que também tende a 0 quando se aproxima de . Portanto, o limite é 1.

Passo 6

Comparando com o valor da função em lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 1 neq f(0,0) = 0 , que é 0, vemos que:
Isso significa que a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

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