Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Passo 1
Ok, bora lá! Temos a função
definida de duas maneiras: para qualquer ponto diferente de
, a função é
, e no ponto
, a função vale 0. O que queremos descobrir é em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade em várias variáveis e como aplicar isso à nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisamos que:
Vamos aplicar isso para nossa função.
Passo 3
Vamos analisar primeiro os pontos onde
. Nessas regiões, a função é
. Sabemos que essa expressão é contínua porque tanto o seno quanto o denominador são funções contínuas quando
. Portanto, a função
é contínua em todos os pontos diferentes de
.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Sabemos que
. Aqui,
, que também tende a 0 quando
se aproxima de
. Portanto, o limite é 1.
Passo 6
Comparando com o valor da função em
, que é 0, vemos que:
Isso significa que a função não é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto
.
Exercícios relacionados
Prove (usando a definição):
Esboce o campo vetorial
em pelo menos cinco pontos.
Calcule, caso exista,
, onde:
Calcule as integrais indefinidas: