Prove (usando a definição):
lim (x, y) (a, b) x=a

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos provar que, quando o ponto se aproxima de , o valor de se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição de limite para funções de duas variáveis, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta).

Passo 2

A definição de limite diz o seguinte:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
Significa que para todo , existe um tal que, se a distância entre e for menor que , então a diferença entre e será menor que .
No nosso caso, e . Então, precisamos mostrar que:
Para todo , existe tal que se , então .

Passo 3

Vamos escolher .
Isso significa que, se a distância entre e for menor que , ou seja, , então vamos ver o que acontece com .

Passo 4

Observamos que:
raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 >= |x - a|
Isso porque representa a distância entre os pontos e , e é apenas a diferença na coordenada . Portanto, a distância total é sempre maior ou igual a qualquer uma das diferenças individuais.

Passo 5

Então, se |x - a| < varepsilon , necessariamente temos que:
Isso atende exatamente o que a definição de limite exige.

Resposta

Portanto, provamos que:
lim(x, y) to (a, b) x = a

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