Prove (usando a definição):
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos provar que, quando o ponto
se aproxima de
, o valor de
se aproxima de
. Para isso, vamos usar a definição de limite para funções de duas variáveis, que envolve os conceitos de
(epsilon) e
(delta).
Passo 2
A definição de limite diz o seguinte:
Significa que para todo
, existe um
tal que, se a distância entre
e
for menor que
, então a diferença entre
e
será menor que
.
No nosso caso,
e
. Então, precisamos mostrar que:
Para todo
, existe
tal que se
, então
.
Passo 3
Vamos escolher
.
Isso significa que, se a distância entre
e
for menor que
, ou seja,
, então vamos ver o que acontece com
.
Passo 4
Observamos que:
Isso porque
representa a distância entre os pontos
e
, e
é apenas a diferença na coordenada
. Portanto, a distância total é sempre maior ou igual a qualquer uma das diferenças individuais.
Passo 5
Então, se
, necessariamente temos que:
Isso atende exatamente o que a definição de limite exige.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
em pelo menos cinco pontos.
Calcule a integral de linha
, nos seguintes casos:
e
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Calcule, caso exista,
, onde: