Prove (usando a definição):

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos provar que, quando o ponto se aproxima de , o valor de se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição de limite para funções de duas variáveis, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta).

Passo 2

A definição de limite diz o seguinte:
Significa que para todo , existe um tal que, se a distância entre e for menor que , então a diferença entre e será menor que .
No nosso caso, e . Então, precisamos mostrar que:
Para todo , existe tal que se , então .

Passo 3

Vamos escolher .
Isso significa que, se a distância entre e for menor que , ou seja, , então vamos ver o que acontece com .

Passo 4

Observamos que:
Isso porque representa a distância entre os pontos e , e é apenas a diferença na coordenada . Portanto, a distância total é sempre maior ou igual a qualquer uma das diferenças individuais.

Passo 5

Então, se , necessariamente temos que:
Isso atende exatamente o que a definição de limite exige.

Resposta

Portanto, provamos que:

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Esboce o campo vetorial em pelo menos cinco pontos.
Calcule a integral de linha , nos seguintes casos: e .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
Calcule, caso exista, , onde: