Prove (usando a definição):
lim (x, y) (a, b) y=b

Passo 1

Vamos provar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para isso, vamos utilizar a definição formal de limite para funções de duas variáveis, que nos ajuda a entender como a função se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

A definição formal de limite para funções de duas variáveis diz que:
lim (x, y) (a, b) y = b
significa que para todo número positivo , por menor que seja, existe um número positivo tal que, sempre que a distância entre e for menor que (isto é, ), então a diferença entre e será menor que (isto é, ).

Passo 3

Vamos mostrar que essa condição é satisfeita. Observamos que:
|y - b| < varepsilon
Queremos que isso seja verdade sempre que raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 >= |y - b| . Notamos que:
Isso ocorre porque representa a distância euclidiana entre os pontos e , e essa distância é sempre maior ou igual ao deslocamento em qualquer uma das coordenadas individualmente.

Passo 4

Para garantir que , basta escolher . Assim, sempre que , teremos automaticamente .

Resposta

Portanto, comprovamos que .

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