Prove (usando a definição):
Passo 1
Vamos provar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para isso, vamos utilizar a definição formal de limite para funções de duas variáveis, que nos ajuda a entender como a função se comporta perto de um ponto específico.
Passo 2
A definição formal de limite para funções de duas variáveis diz que:
significa que para todo número positivo
, por menor que seja, existe um número positivo
tal que, sempre que a distância entre
e
for menor que
(isto é,
), então a diferença entre
e
será menor que
(isto é,
).
Passo 3
Vamos mostrar que essa condição é satisfeita. Observamos que:
Queremos que isso seja verdade sempre que
. Notamos que:
Isso ocorre porque
representa a distância euclidiana entre os pontos
e
, e essa distância é sempre maior ou igual ao deslocamento em qualquer uma das coordenadas individualmente.
Passo 4
Para garantir que
, basta escolher
. Assim, sempre que
, teremos automaticamente
.
Resposta
Portanto, comprovamos que
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas:
Calcule, caso exista,
, onde:
Calcule as integrais indefinidas:
Prove (usando a definição):
Dados e
tem-se:
Dados