Calcule, caso exista. lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 e lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=clx+1, & x >= 1 2 x & x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite! Primeiro, o enunciado nos pede para calcular dois limites de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). A função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Vamos precisar entender qual é o valor de e como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(1) = 1 + 1 = 2 . Como 1 é igual a 1, usamos a primeira definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^- 2x - 2x - 1 se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 ( ). Nesse caso, usamos a definição de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
2x - 2x - 1 = 2(x - 1)x - 1
Aqui, podemos cancelar 2(x - 1)x - 1 = 2 no numerador e denominador, desde que limx to 1^- 2 = 2 :
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando limx to 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx to 1^+ x - 1x - 1 se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 ( ). Nesse caso, usamos a definição de :

Passo 6

Simplificando a expressão:
x - 1x - 1 = 1
Então, o limite pela direita é:
limx to 1^+ 1 = 1

Resposta

limx to 1^- f(x) - f(1)x - 1 = 2 e limx to 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 1

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