Calcule, caso exista. e onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite! Primeiro, o enunciado nos pede para calcular dois limites de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). A função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Vamos precisar entender qual é o valor de e como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Como 1 é igual a 1, usamos a primeira definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 ( ). Nesse caso, usamos a definição de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Aqui, podemos cancelar no numerador e denominador, desde que :
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 ( ). Nesse caso, usamos a definição de :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Então, o limite pela direita é:

Resposta

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Existem pontos do hiperboloide nos quais o plano tangente é paralelo ao plano ? Justifique sua resposta.
Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se for contínua em então ;
Calcule, caso exista. e , onde ,
Calcule, caso exista. e , onde .