Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se
for contínua em
então
;
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: "Se
for contínua em
então
". Nosso foco aqui é cálculo integral, mais especificamente propriedades de integrais envolvendo funções contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as integrais funcionam e se podemos “puxar” o
para fora da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais: se você tem uma constante multiplicando a função integranda, você pode fatorar essa constante para fora da integral. Ou seja, se
é constante, então
.
Passo 3
Agora, olhe a afirmação que temos. Ela sugere que podemos fazer algo parecido, mas com
que, na verdade, não é constante – ele varia dentro do intervalo
. A questão é: podemos tratar
como uma constante dentro da integral? Se conseguirmos, a igualdade é verdadeira; se não, é falsa.
Passo 4
Vamos testar isso com um exemplo simples. Suponha que
, que é certamente contínua em qualquer intervalo
.
Calculemos cada lado da igualdade:
-
Lado esquerdo:
. -
Lado direito:
.
Vendo isso, percebemos que no lado esquerdo temos um valor fixo para a integral, enquanto no lado direito temos
multiplicando uma constante, mas
varia dentro do intervalo. Isso significa que as duas expressões não são iguais a menos que
seja constante, o que não é o caso.
Passo 5
Portanto, a afirmação não se mantém verdadeira para funções em que
varia dentro do intervalo de integração. O exemplo que usamos mostra claramente que os dois lados da igualdade não são iguais.
Resposta
Falsa. Por exemplo, se
, então
enquanto
, que não são iguais.
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Calcule a integral tripla.
, onde
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
e
.
Determine se cada equação abaixo é exata, se for, encontre sua solução
Existem pontos do hiperboloide
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano
? Justifique sua resposta.
Calcule, caso exista.
e
onde