Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se for contínua em então ;

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: "Se for contínua em então ". Nosso foco aqui é cálculo integral, mais especificamente propriedades de integrais envolvendo funções contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as integrais funcionam e se podemos “puxar” o para fora da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais: se você tem uma constante multiplicando a função integranda, você pode fatorar essa constante para fora da integral. Ou seja, se é constante, então .

Passo 3

Agora, olhe a afirmação que temos. Ela sugere que podemos fazer algo parecido, mas com que, na verdade, não é constante – ele varia dentro do intervalo . A questão é: podemos tratar como uma constante dentro da integral? Se conseguirmos, a igualdade é verdadeira; se não, é falsa.

Passo 4

Vamos testar isso com um exemplo simples. Suponha que , que é certamente contínua em qualquer intervalo .
Calculemos cada lado da igualdade:
  • Lado esquerdo: .
  • Lado direito: .
Vendo isso, percebemos que no lado esquerdo temos um valor fixo para a integral, enquanto no lado direito temos multiplicando uma constante, mas varia dentro do intervalo. Isso significa que as duas expressões não são iguais a menos que seja constante, o que não é o caso.

Passo 5

Portanto, a afirmação não se mantém verdadeira para funções em que varia dentro do intervalo de integração. O exemplo que usamos mostra claramente que os dois lados da igualdade não são iguais.

Resposta

Falsa. Por exemplo, se , então enquanto , que não são iguais.

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla. , onde é limitado pelos cilindros parabólicos e e pelos planos e .
Determine se cada equação abaixo é exata, se for, encontre sua solução
Existem pontos do hiperboloide nos quais o plano tangente é paralelo ao plano ? Justifique sua resposta.
Calcule, caso exista. e onde