Calcule, caso exista. lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 e lim x 1^- f(x)-f(1)x-1, onde f(x)=lllx & , & x >= 1 2 x & , & x<1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos calcular dois limites da expressão f(x) - f(1)x - 1 quando x se aproxima de 1 pela direita ( 1^+) e pela esquerda ( 1^-). O conteúdo envolve conceitos de limites e funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função f(x) se comporta perto de x = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(1). Observando a definição da função:
f(x) = x, & se x >= 1 2x, & se x < 1
Como x = 1 está na condição x >= 1, temos:
f(1) = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, x 1^+. Nessa região, x >= 1, então a função f(x) é igual a x.
Substituindo na expressão do limite:
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^+ x - 1x - 1
Simplificando a fração:
x - 1x - 1 = 1
Portanto:
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, x 1^-. Nessa região, x < 1, então a função f(x) é igual a 2x.
Substituindo na expressão do limite:
limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^- 2x - 1x - 1
Vamos analisar o comportamento dessa expressão:
  • Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, x - 1 se aproxima de 0 por valores negativos.
  • O numerador 2x - 1 se aproxima de 2(1) - 1 = 1.
Assim, temos uma fração onde o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0 negativo. Isso significa que o limite tende a menos infinito.
limx 1^- 2x - 1x - 1 = -infty

Resposta

limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 1 e limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = -infty

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