Existem pontos do hiperboloide x^2 - y^2 - z^2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que representa um hiperboloide: . A pergunta é: existe algum ponto nesse hiperboloide onde o plano tangente a ele seja paralelo ao plano ? Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície e também como comparar planos para ver se são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do plano tangente ao hiperboloide em um ponto qualquer que está na superfície. Para isso, usamos o gradiente da função que define o hiperboloide. A função é .
O gradiente de é dado por:
Então, o vetor normal ao plano tangente no ponto é .
A equação do plano tangente é:
Que simplifica para:
Como na superfície, a equação final do plano tangente fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano dado . Para saber se dois planos são paralelos, precisamos comparar seus vetores normais. A forma geral de um plano é , e o vetor normal é .
Reescrevendo na forma geral:
Então, o vetor normal desse plano é .

Passo 4

Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano . Isso significa que os vetores normais dos dois planos devem ser múltiplos um do outro.
O vetor normal do plano tangente é e o vetor normal do plano é . Então, deve existir um número tal que:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar , e :
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. De , temos .
Agora, substituímos esses valores na equação do hiperboloide :
Simplificando:

Resposta

Como não existe nenhum número real que satisfaça , concluímos que não há pontos no hiperboloide onde o plano tangente seja paralelo ao plano .

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