Existem pontos do hiperboloide
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação que representa um hiperboloide:
. A pergunta é: existe algum ponto nesse hiperboloide onde o plano tangente a ele seja paralelo ao plano
? Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície e também como comparar planos para ver se são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano tangente ao hiperboloide em um ponto qualquer
que está na superfície. Para isso, usamos o gradiente da função que define o hiperboloide. A função é
.
O gradiente de
é dado por:
Então, o vetor normal ao plano tangente no ponto
é
.
A equação do plano tangente é:
Que simplifica para:
Como
na superfície, a equação final do plano tangente fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano dado
. Para saber se dois planos são paralelos, precisamos comparar seus vetores normais. A forma geral de um plano é
, e o vetor normal é
.
Reescrevendo
na forma geral:
Então, o vetor normal desse plano é
.
Passo 4
Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano
. Isso significa que os vetores normais dos dois planos devem ser múltiplos um do outro.
O vetor normal do plano tangente é
e o vetor normal do plano
é
. Então, deve existir um número
tal que:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
:
- De
, temos . - De
, temos . - De
, temos .
Agora, substituímos esses valores na equação do hiperboloide
:
Simplificando:
Resposta
Como não existe nenhum número real que satisfaça
, concluímos que não há pontos no hiperboloide
onde o plano tangente seja paralelo ao plano
.
Exercícios relacionados
Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se for contínua em
então
;
( ) Se
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
e
.
Calcule, caso exista.
e
onde
Calcule, caso exista.
e
, onde
,