Calcule, caso exista. lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 e lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1, onde f(x)=cllx^2 & , & x <= 1 2 x-1 & , & x>1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites! A gente tem uma função definida por partes e precisamos calcular dois limites: um quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e outro pela direita ( ) da expressão . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo e aplicar algumas propriedades básicas de limites e funções.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(x) = x^2 & , & x <= 1 2x - 1 & , & x > 1 . A função f(1) = 1^2 = 1 é definida assim:
Como estamos calculando e , usamos a primeira parte da definição:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^- x^2 - 1x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a parte da função onde , ou seja, .
Substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) :
limx 1^- (x - 1)(x + 1)x - 1
Substituindo de volta na expressão do limite:
limx 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^+ 2x - 1 - 1x - 1 = limx 1^+ 2x - 2x - 1 se aproxima de 1 pela direita ( ). Nesse caso, usamos a parte da função onde , ou seja, .
Substituindo na expressão do limite:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador 2x - 2 = 2(x - 1) :
limx 1^+ 2(x - 1)x - 1
Substituindo de volta na expressão do limite:
limx 1^+ 2 = 2
Podemos cancelar o termo :

Resposta

Ambos os limites são iguais a 2.

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