Calcule, caso exista. e , onde ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites! A gente tem uma função definida por partes e precisamos calcular dois limites: um quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e outro pela direita ( ) da expressão . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo e aplicar algumas propriedades básicas de limites e funções.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . A função é definida assim:
Como estamos calculando e , usamos a primeira parte da definição:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a parte da função onde , ou seja, .
Substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Para simplificar, vamos fatorar o numerador :
Substituindo de volta na expressão do limite:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Nesse caso, usamos a parte da função onde , ou seja, .
Substituindo na expressão do limite:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador :
Substituindo de volta na expressão do limite:
Podemos cancelar o termo :

Resposta

Ambos os limites são iguais a 2.

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