Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Isso significa que ela pode ser escrita na forma:
Onde e são funções de . No nosso caso, e . Para resolver esse tipo de equação, a gente usa um método chamado fator integrante.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Como , temos:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação diferencial para que a gente possa integrá-la facilmente.

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto :
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, a gente integra ambos os lados da equação em relação a :
A integral da esquerda é simplesmente . Vamos resolver as integrais do lado direito.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular usando integração por partes, onde:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:
Temos:
Agora, a integral é mais direta:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para dividindo todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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