Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Isso significa que ela pode ser escrita na forma:
Onde
e
são funções de
. No nosso caso,
e
. Para resolver esse tipo de equação, a gente usa um método chamado fator integrante.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Como
, temos:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação diferencial para que a gente possa integrá-la facilmente.
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, a gente integra ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da esquerda é simplesmente
. Vamos resolver as integrais do lado direito.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
usando integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Temos:
Agora, a integral
é mais direta:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista.
e
, onde
.
Calcule, caso exista.
e
, onde
,
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo