Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que é linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Bora lá entender e resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma:
No nosso caso, podemos identificar:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 6
A ideia é que o lado esquerdo da equação agora seja a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Escolhemos:
-
então -
então
Passo 9
Aplicando a integração por partes:
Integrando
:
Então:
Passo 10
Voltando à nossa equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Calcule, caso exista.
e
, onde
.
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Calcule os limites
(Resp:
)