Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que é linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Bora lá entender e resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma:
No nosso caso, podemos identificar:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante, geralmente denotado por , é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso .

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Como , podemos simplificar para .

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 6

A ideia é que o lado esquerdo da equação agora seja a derivada do produto . Ou seja:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral do lado esquerdo:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Escolhemos:
  • então
  • então

Passo 9

Aplicando a integração por partes:
Integrando :
Então:

Passo 10

Voltando à nossa equação:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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