Calcule, caso exista lim x 0 f(x)-f(0)x-0, sendo f(x)=llx cdot sen(x), & se x neq 0 0, & se x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite , onde a função é definida de duas maneiras: para , , e para , . Vamos usar o conceito de derivada aqui, que basicamente nos diz a inclinação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o limite que estamos calculando é a definição da derivada de f'(0) = limx 0 f(x) - f(0)x - 0 em . A derivada é exatamente esse limite:

Passo 3

Sabemos que f'(0) = limx 0 f(x)x , então substituindo na fórmula:
f'(0) = limx 0 x cdot sen(x)x
E como para , temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. O f'(0) = limx 0 sen(x) no numerador e no denominador cancela:

Passo 5

Sabemos que e que a função seno é contínua em f'(0) = 0 , então o limite é simplesmente:

Resposta

O limite existe e vale .

Exercícios relacionados