Calcule, caso exista
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
, onde a função
é definida de duas maneiras: para
, , e para
,
. Vamos usar o conceito de derivada aqui, que basicamente nos diz a inclinação da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o limite que estamos calculando é a definição da derivada de
em
. A derivada
é exatamente esse limite:
Passo 3
Sabemos que
, então substituindo na fórmula:
E como para
, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão. O
no numerador e no denominador cancela:
Passo 5
Sabemos que e que a função seno é contínua em
, então o limite é simplesmente:
Resposta
O limite
existe e vale
.