Usando a definição de limite prove:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 4. Isso faz parte do estudo de limites em Cálculo, e para resolver, vamos usar a definição formal de limite. Basicamente, vamos mostrar que conforme
chega cada vez mais perto de 2,
fica cada vez mais perto de 4.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo número positivo
(sejam números bem pequenos), existe um número positivo
tal que, sempre que
, então
. É como dizer: se eu quiser que
esteja dentro de uma “margem de erro”
perto de
, eu preciso escolher
suficientemente perto de
, dentro de
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos
,
e
. Então, queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar
. Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos ajuda a analisar melhor o comportamento da função perto de 2.
Passo 5
Agora, queremos que
. Para isso, vamos controlar os dois fatores:
e
.
Passo 6
Vamos limitar
para facilitar. Vamos escolher
. Assim, se
, então
está entre 1 e 3. Isso significa que:
porque
estará entre 3 e 5.
Passo 7
Com essa limitação, podemos garantir que:
Então, precisamos que:
Passo 8
Finalmente, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
. Assim, sempre que
, teremos:
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Seja
, encontre as assíntotas horizontais e represente graficamente.
Usando a definição de limite prove:
Calcule, caso exista
, sendo
.