Usando a definição de limite prove: lim x 2 x^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 4. Isso faz parte do estudo de limites em Cálculo, e para resolver, vamos usar a definição formal de limite. Basicamente, vamos mostrar que conforme chega cada vez mais perto de 2, fica cada vez mais perto de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo (sejam números bem pequenos), existe um número positivo tal que, sempre que , então . É como dizer: se eu quiser que esteja dentro de uma “margem de erro” perto de , eu preciso escolher suficientemente perto de , dentro de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos , e . Então, queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| . Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos ajuda a analisar melhor o comportamento da função perto de 2.

Passo 5

Agora, queremos que . Para isso, vamos controlar os dois fatores: e .

Passo 6

Vamos limitar |x + 2| < 5 para facilitar. Vamos escolher . Assim, se , então está entre 1 e 3. Isso significa que:
porque estará entre 3 e 5.

Passo 7

Com essa limitação, podemos garantir que:
|x - 2| cdot |x + 2| < |x - 2| cdot 5 < varepsilon
Então, precisamos que:
|x - 2| < varepsilon5

Passo 8

Finalmente, escolhemos |x^2 - 4| < varepsilon como o mínimo entre 1 e . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que .

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