Use o teorema do sanduíche para provar que
, se
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar o limite de
quando
se aproxima de -2, usando o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto). A gente vai precisar entender como usar desigualdades para “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
. Isso significa que a distância entre
e -4 é menor ou igual a
. Nosso objetivo é descobrir para qual valor
está indo quando
se aproxima de -2.
Passo 3
Vamos dividir a desigualdade
em duas partes para facilitar:
Agora, subtraímos 4 de todas as partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de cada extremidade quando
se aproxima de -2.
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Passo 5
Como vimos, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a -4. Segundo o Teorema do Sanduíche, se
está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então
também tem esse limite.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Sanduíche, concluímos que:
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Calcule, caso exista
, sendo
.
Usando a definição de limite prove:
Calcule os limites infinitos abaixo.
Calcule os limites infinitos abaixo.