Use o teorema do sanduíche para provar que lim x -2 g(x), se |g(x)+4| <= 5(x+2)^2, para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar o limite de quando se aproxima de -2, usando o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto). A gente vai precisar entender como usar desigualdades para “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá: . Isso significa que a distância entre e -4 é menor ou igual a . Nosso objetivo é descobrir para qual valor está indo quando se aproxima de -2.

Passo 3

Vamos dividir a desigualdade -5(x + 2)^2 <= g(x) + 4 <= 5(x + 2)^2 em duas partes para facilitar:
-5(x + 2)^2 - 4 <= g(x) <= 5(x + 2)^2 - 4
Agora, subtraímos 4 de todas as partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada extremidade quando limx to -2 [-5(x + 2)^2 - 4] = -5(0)^2 - 4 = -4 se aproxima de -2.
Primeiro, para limx to -2 [5(x + 2)^2 - 4] = 5(0)^2 - 4 = -4 :
Depois, para :

Passo 5

Como vimos, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a -4. Segundo o Teorema do Sanduíche, se está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então também tem esse limite.

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Sanduíche, concluímos que:
limx to -2 g(x) = -4

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