Usando a definição de limite prove: lim x 0 1-cos (x)x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver isso, a gente vai usar a definição de limite e algumas propriedades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite:
limx to a f(x) = L
significa que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 3

No nosso caso, queremos provar que:
limx to 0 1 - cos(x)x = 0
Então, , e .

Passo 4

Vamos trabalhar com | 1 - cos(x)x - 0 | = | 1 - cos(x)x | :
Queremos que isso seja menor que .

Passo 5

Usamos a propriedade trigonométrica | 2sin^2(x2)x | = 2 | sin^2(x2)x | . Assim:

Passo 6

Sabemos que sin^2(x2) <= (x2)^2 = x^24 para todo 2 | sin^2(x2)x | <= 2 | x^24x | = 2 | x4 | = |x|2 . Então:
Portanto:

Passo 7

Queremos que . Para isso, basta escolher tal que . Ou seja, definimos .

Passo 8

Assim, sempre que | 1 - cos(x)x | <= |x|2 < 2epsilon2 = epsilon , temos:
Isso mostra que o limite é, de fato, 0.

Resposta

limx to 0 1 - cos(x)x = 0

Exercícios relacionados

Usando a definição de limite prove: lim x 2 x^2=4
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x) = 4 - 1/x
Calcule, caso exista lim x 0 f(x)-f(0)x-0, sendo f(x)=llx cdot sen(x), & se x neq 0 0, & se x=0.
Use o teorema do sanduíche para provar que lim x -2 g(x), se |g(x)+4| <= 5(x+2)^2, para todo x in R.