Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
b) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 com vínculo y^2 - x^2 = 1í

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os pontos críticos da função com o vínculo . Ou seja, queremos saber onde a função atinge valores extremos (mínimos ou máximos) respeitando essa condição que relaciona e .

Passo 2

Primeiro, precisamos montar as condições do método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função seja igual a um múltiplo escalar ( ) do gradiente do vínculo . Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de e .

Passo 4

Igualando os gradientes segundo a condição do Lagrange:

Passo 5

Vamos resolver a equação (3) primeiro, que é mais simples:
Então, sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos lidar com as equações (1) e (2). Da equação (1):
Da equação (2):

Passo 7

Aqui temos um detalhe: não pode ser simultaneamente e , a menos que ou .
  • Se , pela equação (4):
Isso não tem solução real.
  • Portanto, a única possibilidade é .

Passo 8

Com , voltamos à equação (4):

Passo 9

Então, juntando tudo que descobrimos:

Resposta

Os pontos críticos são e .

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
e) lim x a sen x^2-sen a^2x^2-a^2
Calcule d/y d/x sendo:
c)
Ache o gradiente da função dada.
c) f(x, y, z) = x * e^(-2 * y) * sec(z)
Calcule, caso exista, lim x 0 x^3 sen 1x.