Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar os pontos críticos da função
com o vínculo
. Ou seja, queremos saber onde a função atinge valores extremos (mínimos ou máximos) respeitando essa condição que relaciona
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar as condições do método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que o gradiente da função
seja igual a um múltiplo escalar (
) do gradiente do vínculo
. Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de
e
.
Passo 4
Igualando os gradientes segundo a condição do Lagrange:
Passo 5
Vamos resolver a equação (3) primeiro, que é mais simples:
Então, sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos lidar com as equações (1) e (2). Da equação (1):
Da equação (2):
Passo 7
Aqui temos um detalhe:
não pode ser simultaneamente
e
, a menos que
ou
.
- Se
, pela equação (4):
Isso não tem solução real.
- Portanto, a única possibilidade é
.
Passo 8
Com
, voltamos à equação (4):
Passo 9
Então, juntando tudo que descobrimos:
Resposta
Os pontos críticos são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
e)
e)
Calcule
sendo:
c)
c)
Ache o gradiente da função dada.
c)
c)
Calcule, caso exista,
.