Calcule, caso exista:
o)
o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O enunciado é:
Isso envolve o conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de
e
influenciam o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo
e
. Mas aí a gente vê que tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero, ou seja:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar outra estratégia para descobrir o limite.
Passo 3
Uma maneira comum de analisar limites em funções de duas variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes por caminhos distintos, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
-
Caminho y = 0:
Substituindona função: Agora, calculando o limite quando: -
Caminho y = x²:
Substituindona função: Calculando o limite quando:
Passo 5
Agora, vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite ainda é zero. Vamos escolher, por exemplo, y = -x²:
Aqui, o denominador dá zero, o que nos indica que o limite pode não existir nesse caminho, já que a função tende ao infinito ou não está definida.
Passo 6
Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos, o limite pode ser diferente (no primeiro e segundo caminhos deu 0, mas no terceiro o limite não existe). Isso significa que o limite geral:
não existe, porque ele depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Resposta
O limite não existe.
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Calcule, caso exista:
h)
h)
Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
h)
h)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
d)
Seja
. Calcule as derivadas parciais de
.