Calcule, caso exista:
o)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O enunciado é:
Isso envolve o conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de e influenciam o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo e . Mas aí a gente vê que tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero, ou seja:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar outra estratégia para descobrir o limite.

Passo 3

Uma maneira comum de analisar limites em funções de duas variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes por caminhos distintos, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos considerar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho y = 0:
    Substituindo na função:
    Agora, calculando o limite quando :
  2. Caminho y = x²:
    Substituindo na função:
    Calculando o limite quando :

Passo 5

Agora, vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite ainda é zero. Vamos escolher, por exemplo, y = -x²:
Aqui, o denominador dá zero, o que nos indica que o limite pode não existir nesse caminho, já que a função tende ao infinito ou não está definida.

Passo 6

Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos, o limite pode ser diferente (no primeiro e segundo caminhos deu 0, mas no terceiro o limite não existe). Isso significa que o limite geral:
não existe, porque ele depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Resposta

O limite não existe.

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Calcule, caso exista:
h)
Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
h)
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d)
Seja . Calcule as derivadas parciais de .