Calcule, caso exista:
o) lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y se aproxima de . O enunciado é:
Isso envolve o conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de e influenciam o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo 0^3+0^30^2+0 = 00 e . Mas aí a gente vê que tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero, ou seja:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar outra estratégia para descobrir o limite.

Passo 3

Uma maneira comum de analisar limites em funções de duas variáveis é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes por caminhos distintos, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos considerar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho y = 0:
    Substituindo x^3 + 0^3x^2 + 0 = x^3x^2 = x na função:
    limx to 0 x = 0
    Agora, calculando o limite quando x^3 + (x^2)^3x^2 + x^2 = x^3 + x^62x^2 = x^3(1 + x^3)2x^2 = x(1 + x^3)2 :
    limx to 0 x(1 + x^3)2 = 0 cdot (1 + 0)2 = 0
  2. Caminho y = x²:
    Substituindo na função:
    Calculando o limite quando :

Passo 5

Agora, vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite ainda é zero. Vamos escolher, por exemplo, y = -x²:
x^3 + (-x^2)^3x^2 + (-x^2) = x^3 - x^6x^2 - x^2 = x^3 - x^60
Aqui, o denominador dá zero, o que nos indica que o limite pode não existir nesse caminho, já que a função tende ao infinito ou não está definida.

Passo 6

Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos, o limite pode ser diferente (no primeiro e segundo caminhos deu 0, mas no terceiro o limite não existe). Isso significa que o limite geral:
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y
não existe, porque ele depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Resposta

O limite não existe.

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