Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função . Isso envolve determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível. Vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e entender cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar do domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Olhando para , não temos nenhuma restrição como divisões por zero ou raízes de números negativos. Isso significa que a função está definida para todos os valores reais de e .
Então, o domínio é:
í
Ou seja, todos os pares de números reais .

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como depende apenas de , e pode ser qualquer número real, também pode ser qualquer número real.
Portanto, a imagem é:

Passo 4

Vamos entender as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para a nossa função, temos:
Substituindo na função:
Isso significa que, para cada valor de , a curva de nível é uma linha vertical no ponto . Por exemplo:
  • Se , a curva de nível é .
  • Se , a curva de nível é .
Essas linhas verticais mostram que o valor de não afeta o valor de , já que a função depende só de .

Passo 5

Por último, vamos fazer o esboço do gráfico da função . Como a função depende apenas de , o gráfico será um plano inclinado no espaço tridimensional.
  • No eixo (representando ), para cada linha vertical , o valor de muda conforme muda.
  • Se imaginarmos cortar o plano horizontalmente em diferentes alturas, veremos as curvas de nível que são linhas verticais no plano .

Resposta

O gráfico da função é um plano inclinado definido para todos os valores de e . O domínio é , a imagem é , e as curvas de nível são linhas verticais da forma , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
Calcule, caso exista:
h)
Calcule, caso exista:
o)