Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função
. Isso envolve determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível. Vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e entender cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar do domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Olhando para
, não temos nenhuma restrição como divisões por zero ou raízes de números negativos. Isso significa que a função está definida para todos os valores reais de
e
.
Então, o domínio é:
Ou seja, todos os pares de números reais
.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
depende apenas de
, e
pode ser qualquer número real,
também pode ser qualquer número real.
Portanto, a imagem é:
Passo 4
Vamos entender as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Para a nossa função, temos:
Substituindo na função:
Isso significa que, para cada valor de
, a curva de nível é uma linha vertical no ponto
. Por exemplo:
- Se
, a curva de nível é . - Se
, a curva de nível é .
Essas linhas verticais mostram que o valor de
não afeta o valor de
, já que a função depende só de
.
Passo 5
Por último, vamos fazer o esboço do gráfico da função
. Como a função depende apenas de
, o gráfico será um plano inclinado no espaço tridimensional.
- No eixo
(representando ), para cada linha vertical , o valor de muda conforme muda. - Se imaginarmos cortar o plano
horizontalmente em diferentes alturas, veremos as curvas de nível que são linhas verticais no plano .
Resposta
O gráfico da função
é um plano inclinado definido para todos os valores de
e
. O domínio é
, a imagem é
, e as curvas de nível são linhas verticais da forma
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
c)
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Discuta a continuidade das funções abaixo:
a)
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Calcule, caso exista:
h)
h)
Calcule, caso exista:
o)
o)