Seja
. Calcule as derivadas parciais de
.
Passo 1
Então, temos uma função
definida de duas maneiras:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis é a taxa de variação dessa função quando mudamos apenas essa variável, mantendo a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis:
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
,
. Para
, usamos a definição da função:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Novamente, para
:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos verificar o ponto especial
. Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Substituindo na função:
Então,
Esse limite tende ao infinito, ou seja, a derivada parcial em
no ponto
não existe.
De forma semelhante, para
:
Substituindo:
Então,
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Para
:
No ponto
:
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
d)
Calcule, caso exista:
o)
o)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
f)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.
b) A área do triângulo.