Seja f(x, y) = { (x + y^4) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0,0) ; 0 se (x, y) = (0,0) }. Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

Então, temos uma função definida de duas maneiras:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis é a taxa de variação dessa função quando mudamos apenas essa variável, mantendo a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , . Para , usamos a definição da função:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Novamente, para :
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos verificar o ponto especial . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Substituindo na função:
Então,
Esse limite tende ao infinito, ou seja, a derivada parcial em no ponto não existe.
De forma semelhante, para :
Substituindo:
Então,

Resposta

As derivadas parciais de são:
Para :
No ponto :
ã

Exercícios relacionados