Seja . Calcule as derivadas parciais de .

Passo 1

Então, temos uma função definida de duas maneiras:
O objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis é a taxa de variação dessa função quando mudamos apenas essa variável, mantendo a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , . Para , usamos a definição da função:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Novamente, para :
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos verificar o ponto especial . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Substituindo na função:
Então,
Esse limite tende ao infinito, ou seja, a derivada parcial em no ponto não existe.
De forma semelhante, para :
Substituindo:
Então,

Resposta

As derivadas parciais de são:
Para :
No ponto :
ã

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Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
Calcule, caso exista:
o)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
b) A área do triângulo.