Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para discutir a continuidade da função:
Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e, mais especificamente, à continuidade delas. Para resolver isso, vamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função
é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma estratégia comum é converter para coordenadas polares, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão quando
(a distância até a origem) tende a 0.
Substituindo:
Passo 4
Agora, simplificamos:
Como
é limitado (não cresce sem limites) para qualquer
, o que importa é como
se comporta quando tende a 0.
Passo 5
Observamos que quando
, o produto
porque
está multiplicando uma quantidade finita. Portanto:
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, e o valor da função nesse ponto também é 0, concluímos que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista:
o)
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Calcule, caso exista:
h)
h)
Seja
. Calcule as derivadas parciais de
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)
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