Discuta a continuidade das funções abaixo:
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para discutir a continuidade da função:
Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e, mais especificamente, à continuidade delas. Para resolver isso, vamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, 0.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Então, precisamos calcular:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma estratégia comum é converter para coordenadas polares, onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão quando (a distância até a origem) tende a 0.
Substituindo:

Passo 4

Agora, simplificamos:
Como é limitado (não cresce sem limites) para qualquer , o que importa é como se comporta quando tende a 0.

Passo 5

Observamos que quando , o produto porque está multiplicando uma quantidade finita. Portanto:

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de é 0, e o valor da função nesse ponto também é 0, concluímos que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o ponto .

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Calcule, caso exista:
o)
Calcule, caso exista:
h)
Seja . Calcule as derivadas parciais de .
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
f)