Calcule, caso exista lim (x, y) (0,0) x+yx^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de x+yx^2-y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro da área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite em um ponto existe somente se o valor se aproxima do mesmo número independentemente do caminho que escolhemos para chegar até lá. Então, precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes trajetórias, obtemos o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde y = x. Substituindo y por x na função, temos:
x + xx^2 - x^2 = 2x0
Aqui, o denominador se torna zero enquanto o numerador tende a zero. Quando uma fração tem um denominador que tende a zero e o numerador tende a um valor diferente de zero, o resultado tende ao infinito. Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) por esse caminho, o limite tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, y = -x. Substituindo y por -x, temos:
x + (-x)x^2 - (-x)^2 = 0x^2 - x^2 = 00
Essa forma indeterminada sugere que precisamos analisar mais a fundo. Porém, já vimos que pelo primeiro caminho o limite não é um número real finito, o que indica que o limite pode não existir.

Passo 5

Como obtemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para nos aproximarmos de (0,0) (um tendendo ao infinito e o outro resultando em uma forma indeterminada), podemos concluir que o limite não existe. Para que o limite existisse, todos os caminhos teriam que levar ao mesmo valor.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x+yx^2-y^2 não existe.

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