Calcule, caso exista
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite em um ponto existe somente se o valor se aproxima do mesmo número independentemente do caminho que escolhemos para chegar até lá. Então, precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de
por diferentes trajetórias, obtemos o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Aqui, o denominador se torna zero enquanto o numerador tende a zero. Quando uma fração tem um denominador que tende a zero e o numerador tende a um valor diferente de zero, o resultado tende ao infinito. Portanto, ao nos aproximarmos de
por esse caminho, o limite tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
por
, temos:
Essa forma indeterminada sugere que precisamos analisar mais a fundo. Porém, já vimos que pelo primeiro caminho o limite não é um número real finito, o que indica que o limite pode não existir.
Passo 5
Como obtemos resultados diferentes ao escolher caminhos diferentes para nos aproximarmos de
(um tendendo ao infinito e o outro resultando em uma forma indeterminada), podemos concluir que o limite não existe. Para que o limite existisse, todos os caminhos teriam que levar ao mesmo valor.
Resposta
O limite
não existe.
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, onde
com
e
.
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, onde
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.
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em
e
pontos
e