Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): , onde com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo . O que a gente tá fazendo aqui é trabalhar com uma EDO de segunda ordem onde é uma função que muda dependendo do valor de . A gente vai precisar usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a resolver essas EDOs com funções por partes. Além disso, temos as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação é baseada nos valores característicos da equação.
A equação característica é . Resolvendo, temos . Isso significa que as soluções são funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a EDO completa . Como é uma função por partes, vamos considerar dois intervalos para : de a e para .
Para , :
A gente procura uma solução particular constante, já que o lado direito é constante. Suponha que , onde é uma constante a ser determinada.
Derivando, temos . Substituindo na EDO:
Então, a solução particular nessa faixa é .
Para , :
Aqui, a equação volta a ser homogênea, então a solução particular não é necessária. Portanto, a solução geral para é a solução homogênea:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Sabemos que e .
Primeiro, para :
Agora, vamos derivar a solução para encontrar :
Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a solução completa para :
Para , a solução continua sendo:
Como a função muda em , precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável nesse ponto, mas por enquanto, essa é a forma geral das soluções em cada intervalo.

Resposta

Para :
Para :

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): , onde com .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: e , com e .
Calcule, caso exista
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: