Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): y'' + 4y = f(t), onde f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 } com y(0) = 0 e y'(0) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo . O que a gente tá fazendo aqui é trabalhar com uma EDO de segunda ordem onde f(t) é uma função que muda dependendo do valor de t. A gente vai precisar usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a resolver essas EDOs com funções por partes. Além disso, temos as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação é baseada nos valores característicos da equação.
A equação característica é . Resolvendo, temos . Isso significa que as soluções são funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a EDO completa . Como f(t) é uma função por partes, vamos considerar dois intervalos para t: de 0 a 1 e para .
Para , :
A gente procura uma solução particular constante, já que o lado direito é constante. Suponha que , onde A é uma constante a ser determinada.
Derivando, temos . Substituindo na EDO:
Então, a solução particular nessa faixa é .
Para , :
Aqui, a equação volta a ser homogênea, então a solução particular não é necessária. Portanto, a solução geral para é a solução homogênea:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Sabemos que e .
Primeiro, para :
Agora, vamos derivar a solução para encontrar :
Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a solução completa para :
Para , a solução continua sendo:
Como a função f(t) muda em , precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável nesse ponto, mas por enquanto, essa é a forma geral das soluções em cada intervalo.

Resposta

Para :
Para :

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