Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo
. O que a gente tá fazendo aqui é trabalhar com uma EDO de segunda ordem onde
é uma função que muda dependendo do valor de
. A gente vai precisar usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a resolver essas EDOs com funções por partes. Além disso, temos as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação é baseada nos valores característicos da equação.
A equação característica é
. Resolvendo, temos
. Isso significa que as soluções são funções seno e cosseno. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a EDO completa
. Como
é uma função por partes, vamos considerar dois intervalos para
: de
a
e para
.
Para
,
:
A gente procura uma solução particular constante, já que o lado direito é constante. Suponha que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Derivando, temos
. Substituindo na EDO:
Então, a solução particular nessa faixa é
.
Para
,
:
Aqui, a equação volta a ser homogênea, então a solução particular não é necessária. Portanto, a solução geral para
é a solução homogênea:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Sabemos que
e
.
Primeiro, para
:
Agora, vamos derivar a solução para encontrar
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a solução completa para
:
Para
, a solução continua sendo:
Como a função
muda em
, precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável nesse ponto, mas por enquanto, essa é a forma geral das soluções em cada intervalo.
Resposta
Para
:
Para
:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Calcule, caso exista
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: