Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): , onde com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial onde é uma função que muda de acordo com o valor de . A gente vai usar o segundo teorema de traslação, que envolve transformadas de Laplace, pra resolver isso. Precisamos conhecer um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e como , fica só . Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Fatoramos :
Então,

Passo 4

Precisamos encontrar , que é a transformada de . Como é uma função por partes, podemos escrever:
Onde é a função degrau unitário. Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos fazer a inversa da transformada de Laplace para encontrar . Utilizando tabelas de transformadas e propriedades de traslação, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): , onde com e .
Calcule, caso exista