Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
onde
é uma função que muda de acordo com o valor de
. A gente vai usar o segundo teorema de traslação, que envolve transformadas de Laplace, pra resolver isso. Precisamos conhecer um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de
é
e como
, fica só
. Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Fatoramos
:
Então,
Passo 4
Precisamos encontrar
, que é a transformada de
. Como
é uma função por partes, podemos escrever:
Onde
é a função degrau unitário. Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos fazer a inversa da transformada de Laplace para encontrar
. Utilizando tabelas de transformadas e propriedades de traslação, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Calcule, caso exista