Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): y' + 2y = f(t), onde f(t) = { t, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 } com y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial onde é uma função que muda de acordo com o valor de . A gente vai usar o segundo teorema de traslação, que envolve transformadas de Laplace, pra resolver isso. Precisamos conhecer um pouquinho sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e como , fica só . Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Fatoramos :
Então,

Passo 4

Precisamos encontrar , que é a transformada de . Como é uma função por partes, podemos escrever:
Onde é a função degrau unitário. Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos fazer a inversa da transformada de Laplace para encontrar . Utilizando tabelas de transformadas e propriedades de traslação, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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