Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
. O conteúdo aqui é de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Pra resolver, vamos precisar entender como derivar funções em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como essa, a derivada parcial em relação a uma variável mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, e as outras ficam fixas.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
. As outras partes, por serem constantes, têm derivada igual a zero.
Passo 4
Agora, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
. Igualzinho ao anterior, aqui
,
e
são constantes. A derivada de
em relação a
é
. E, novamente, os outros termos derivam para zero.
Passo 5
Seguimos com a derivada parcial de
em relação a
. Mantendo
,
e
fixos, a derivada de
em relação a
é
. Os demais termos não dependem de
e sua derivada é zero.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Com
,
e
constantes, a derivada de
em relação a
é
. Os outros termos, sendo constantes em relação a
, derivam para zero.
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
pontos
e
Determine e represente graficamente o domínio da função
dada por