Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados:
em
e
pontos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é diferenciável nos pontos
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar isso em cada um dos pontos indicados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela for suave naquele ponto, ou seja, se ela tiver derivadas parciais contínuas ali e se aproximar de uma função linear nesse ponto. Basicamente, isso significa que a função não tem “quebras” ou “pontas” naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando a diferenciabilidade em
. Nesse ponto, a função é definida como
.
Para verificar a diferenciabilidade, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto
, temos:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. Aqui, a função é definida como
. Mas, para
,
.
Vamos analisar o limite que define a diferenciabilidade:
Primeiro, precisamos das derivadas parciais em
:
Esse limite não existe porque
cresce para infinito conforme
se aproxima de 0. O mesmo ocorre para
.
Sem derivadas parciais bem definidas, a função não pode ser diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
e não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Calcule, caso exista
Determine e represente graficamente o domínio da função
dada por
Calcule o valor de
pontos
e
e o conjunto dos pontos
tal que
.