Verifique a diferenciabilidade das funções nos pontos indicados: f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2) em (x, y) != (0, 0) e f(0,0)=1 nos pontos 0,1 e (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é diferenciável nos pontos e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar isso em cada um dos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela for suave naquele ponto, ou seja, se ela tiver derivadas parciais contínuas ali e se aproximar de uma função linear nesse ponto. Basicamente, isso significa que a função não tem “quebras” ou “pontas” naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando a diferenciabilidade em . Nesse ponto, a função é definida como .
Para verificar a diferenciabilidade, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , temos:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . Aqui, a função é definida como . Mas, para , .
Vamos analisar o limite que define a diferenciabilidade:
Primeiro, precisamos das derivadas parciais em :
Esse limite não existe porque cresce para infinito conforme se aproxima de 0. O mesmo ocorre para .
Sem derivadas parciais bem definidas, a função não pode ser diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável no ponto e não é diferenciável no ponto .

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