Calcule, caso exista:
n)
n)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: queremos calcular o limite
Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração:
.
Podemos agrupar os termos de uma maneira que facilite a fatoração:
Então, o numerador fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
.
Vamos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Para
:
Agora, substituímos de volta no denominador:
Passo 4
Então, nossa expressão original fica:
Agora, observamos que quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver isso, analisamos o comportamento da função perto do ponto
.
Passo 5
Vamos considerar diferentes caminhos para
se aproximando de
:
-
Caminho 1: Fixar
. Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é . -
Caminho 2: Fixar
. Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é . -
Caminho 3: Tomar
para algum constante . Substituindo, vemos que o limite também tende a .
Passo 6
Como em todos os caminhos que testamos o limite foi o mesmo, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine os extremos absolutos da função
sobre o disco
.
Calcule
e
se
.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
c)
Calcule
e
para
.