Calcule, caso exista:
n)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: queremos calcular o limite
Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração: .
Podemos agrupar os termos de uma maneira que facilite a fatoração:
Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador: .
Vamos completar o quadrado para e :
Para :
Para :
Agora, substituímos de volta no denominador:

Passo 4

Então, nossa expressão original fica:
Agora, observamos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver isso, analisamos o comportamento da função perto do ponto .

Passo 5

Vamos considerar diferentes caminhos para se aproximando de :
  1. Caminho 1: Fixar . Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é .
  2. Caminho 2: Fixar . Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é .
  3. Caminho 3: Tomar para algum constante . Substituindo, vemos que o limite também tende a .

Passo 6

Como em todos os caminhos que testamos o limite foi o mesmo, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite é .

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Determine os extremos absolutos da função sobre o disco .
Calcule e se .
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
Calcule e para .