Calcule, caso exista:
n) lim (x, y) (1,2) x y-2 x-y+2x^2+y^2-2 x-4 y+5

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: queremos calcular o limite
lim(x, y) (1,2) xy - 2x - y + 2x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5
Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração: xy - 2x - y + 2 = x(y - 2) -1(y - 2) = (x - 1)(y - 2) .
Podemos agrupar os termos de uma maneira que facilite a fatoração:
(x - 1)(y - 2)
Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador: x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 .
Vamos completar o quadrado para y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 e (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 :
Para :
Para :
Agora, substituímos de volta no denominador:

Passo 4

Então, nossa expressão original fica:
(x - 1)(y - 2)(x - 1)^2 + (y - 2)^2
Agora, observamos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver isso, analisamos o comportamento da função perto do ponto .

Passo 5

Vamos considerar diferentes caminhos para se aproximando de :
  1. Caminho 1: Fixar . Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é .
  2. Caminho 2: Fixar . Então, o numerador é e o denominador é . Assim, o limite é .
  3. Caminho 3: Tomar para algum constante . Substituindo, vemos que o limite também tende a .

Passo 6

Como em todos os caminhos que testamos o limite foi o mesmo, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite é .

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