Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)

Passo 1

Beleza, a gente vai analisar a continuidade da função que está definida assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de duas variáveis, e pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre limites em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade num ponto. Uma função é contínua no ponto se:
  1. está bem definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
No nosso caso, vamos focar no ponto , porque é aí que a função muda de definição.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Uma boa técnica aqui é usar coordenadas polares, onde e . Assim, a função fica:
Agora, vamos ver o que acontece quando :
Ou seja, . Assim, quando , .

Passo 4

Então, o limite de quando é 0. Como , o limite bate certinho com o valor da função no ponto.

Passo 5

Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto , a função é contínua nesse ponto. Além disso, para outros pontos diferentes de , a função é uma combinação de polinômios e divisões (onde o denominador não é zero), o que também garante continuidade.

Resposta

A função é contínua em todo o domínio, incluindo o ponto .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista:
n)
Determine os extremos absolutos da função sobre o disco .
Calcule e para .
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)