Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
c)
Passo 1
Beleza, a gente vai analisar a continuidade da função
que está definida assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de duas variáveis, e pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre limites em várias direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade num ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
-
está bem definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
No nosso caso, vamos focar no ponto
, porque é aí que a função muda de definição.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Uma boa técnica aqui é usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, a função fica:
Agora, vamos ver o que acontece quando
:
Ou seja,
. Assim, quando
,
.
Passo 4
Então, o limite de
quando
é 0. Como
, o limite bate certinho com o valor da função no ponto.
Passo 5
Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto
, a função
é contínua nesse ponto. Além disso, para outros pontos diferentes de
, a função é uma combinação de polinômios e divisões (onde o denominador não é zero), o que também garante continuidade.
Resposta
A função
é contínua em todo o domínio, incluindo o ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista:
n)
n)
Determine os extremos absolutos da função
sobre o disco
.
Calcule
e
para
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)