Determine os extremos absolutos da função
sobre o disco
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os extremos absolutos (ou seja, o maior e o menor valor) da função
dentro do disco definido por
. Isso envolve descobrir onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse conjunto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e métodos para encontrar extremos em regiões restritas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do disco
:
Como
é menor que 1, o ponto
está dentro do disco.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os extremos na borda do disco, onde
. Para isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função restrição
.
As condições dos multiplicadores de Lagrange são:
Ou seja:
Passo 6
Analisando a primeira equação
:
- Se
, podemos dividir ambos os lados por : . - Se
, precisamos considerar o que ocorre na segunda equação.
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo
na equação da restrição
, temos
⇒
.
Então, os pontos são
e
.
Calculando a função nesses pontos:
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na restrição
:
Então, temos os pontos
e
.
Calculando a função nesses pontos:
Passo 7
Agora, resumindo os valores encontrados:
- Ponto crítico interno:
com - Pontos na borda:
-
com -
com -
e com
-
Resposta
Os extremos absolutos da função
sobre o disco
são:
- Máximo absoluto:
nos pontos e . - Mínimo absoluto:
no ponto .
Exercícios relacionados
Calcule
e
se
.
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Calcule, caso exista:
n)
n)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
c)