Determine os extremos absolutos da função sobre o disco .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os extremos absolutos (ou seja, o maior e o menor valor) da função dentro do disco definido por . Isso envolve descobrir onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse conjunto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e métodos para encontrar extremos em regiões restritas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do disco :
Como é menor que 1, o ponto está dentro do disco.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos verificar os extremos na borda do disco, onde . Para isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Definimos a função restrição .
As condições dos multiplicadores de Lagrange são:
Ou seja:

Passo 6

Analisando a primeira equação :
  • Se , podemos dividir ambos os lados por : .
  • Se , precisamos considerar o que ocorre na segunda equação.
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na equação da restrição , temos .
Então, os pontos são e .
Calculando a função nesses pontos:
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na restrição :
Então, temos os pontos e .
Calculando a função nesses pontos:

Passo 7

Agora, resumindo os valores encontrados:
  • Ponto crítico interno: com
  • Pontos na borda:
    • com
    • com
    • e com

Resposta

Os extremos absolutos da função sobre o disco são:
  • Máximo absoluto: nos pontos e .
  • Mínimo absoluto: no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule e se .
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Calcule, caso exista:
n)
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)