Calcule
e
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
na equação
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e à diferenciação implícita, que é quando temos uma equação envolvendo várias variáveis e queremos encontrar como uma delas muda em relação às outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar
e
. Isso significa que vamos ver como
muda quando alteramos
ou
, mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 3
Vamos começar diferenciando toda a equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então usamos a regra da cadeia quando diferenciamos
.
A equação original é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para
:
Aqui, derivamos o argumento do logaritmo: a derivada de
em relação a
é 1, de
é 0 porque estamos derivando em relação a
, e de
usamos
.
Para
:
Usamos a regra do produto: derivamos
mantendo
constante e vice-versa.
E a derivada de 2 em relação a
é 0.
Passo 5
Então, a equação derivada fica:
Agora, vamos isolar
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agrupando os termos com
:
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Passo 8
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Passo 9
Derivando cada termo:
Para
:
Para
:
E a derivada de 2 em relação a
é 0.
Passo 10
A equação derivada fica:
Isolando
:
Passo 11
Finalmente, temos:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
(m) ( ) Se
converge, então
converge;
Determine os extremos absolutos da função
sobre o disco
.
Calcule, caso exista:
n)
n)