Calcule e se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e na equação . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e à diferenciação implícita, que é quando temos uma equação envolvendo várias variáveis e queremos encontrar como uma delas muda em relação às outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar e . Isso significa que vamos ver como muda quando alteramos ou , mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 3

Vamos começar diferenciando toda a equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então usamos a regra da cadeia quando diferenciamos .
A equação original é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente.
Para :
Aqui, derivamos o argumento do logaritmo: a derivada de em relação a é 1, de é 0 porque estamos derivando em relação a , e de usamos .
Para :
Usamos a regra do produto: derivamos mantendo constante e vice-versa.
E a derivada de 2 em relação a é 0.

Passo 5

Então, a equação derivada fica:
Agora, vamos isolar .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agrupando os termos com :

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para encontrar . Diferenciando a equação original em relação a :

Passo 9

Derivando cada termo:
Para :
Para :
E a derivada de 2 em relação a é 0.

Passo 10

A equação derivada fica:
Isolando :

Passo 11

Finalmente, temos:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .
(m) ( ) Se converge, então converge;
Determine os extremos absolutos da função sobre o disco .
Calcule, caso exista:
n)