Calcule partial zpartial x e partial zpartial y se ln (x+y+z)+x y z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e na equação . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e à diferenciação implícita, que é quando temos uma equação envolvendo várias variáveis e queremos encontrar como uma delas muda em relação às outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar e . Isso significa que vamos ver como muda quando alteramos ou , mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 3

Vamos começar diferenciando toda a equação em relação a ln (x + y + z) + xyz = 2 . Lembre-se que ddx [ln (x + y + z)] + ddx [xyz] = ddx [2] é uma função de e , então usamos a regra da cadeia quando diferenciamos .
A equação original é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente.
Para 1x + y + z cdot (1 + 0 + partial zpartial x) :
y cdot z + x cdot y cdot partial zpartial x
Aqui, derivamos o argumento do logaritmo: a derivada de em relação a é 1, de é 0 porque estamos derivando em relação a , e de usamos .
Para :
Usamos a regra do produto: derivamos mantendo constante e vice-versa.
E a derivada de 2 em relação a é 0.

Passo 5

Então, a equação derivada fica:
1 + partial zpartial xx + y + z + yz + xy cdot partial zpartial x = 0
Agora, vamos isolar .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 1 + partial zpartial x + yz(x + y + z) + xy(x + y + z)partial zpartial x = 0 para eliminar o denominador:
(1 + xy(x + y + z))partial zpartial x = -(1 + yz(x + y + z))
Agrupando os termos com :

Passo 7

Finalmente, isolamos partial zpartial x = -1 + yz(x + y + z)1 + xy(x + y + z) :

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para encontrar ddy [ln (x + y + z)] + ddy [xyz] = ddy [2] . Diferenciando a equação original em relação a :

Passo 9

Derivando cada termo:
Para 1x + y + z cdot (0 + 1 + partial zpartial y) :
x cdot z + xy cdot partial zpartial y
Para :
E a derivada de 2 em relação a é 0.

Passo 10

A equação derivada fica:
1 + partial zpartial yx + y + z + xz + xy cdot partial zpartial y = 0
Isolando (1 + xy(x + y + z))partial zpartial y = -(1 + xz(x + y + z)) :

Passo 11

Finalmente, temos:
partial zpartial y = -1 + xz(x + y + z)1 + xy(x + y + z)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -1 + yz(x + y + z)1 + xy(x + y + z)
e
partial zpartial y = -1 + xz(x + y + z)1 + xy(x + y + z)

Exercícios relacionados