Calcule partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0) para f(x, y)=llx^2 y^2x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais segundas mistas de uma função f(x, y) = x^2 y^2x^4 + y^4, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) no ponto . A função é definida de duas formas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, especialmente as segundas derivadas mistas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante.
Nosso objetivo é encontrar:
partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0)

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( x^2 y^2x^4 + y^4 ) em relação a partial fpartial y = (2x^2 y)(x^4 + y^4) - x^2 y^2(4y^3)(x^4 + y^4)^2 , e depois derivar isso em relação a partial fpartial y = 2x^2 y (x^4 + y^4) - 4x^2 y^5(x^4 + y^4)^2 = 2x^6 y + 2x^2 y^5 - 4x^2 y^5(x^4 + y^4)^2 = 2x^6 y - 2x^2 y^5(x^4 + y^4)^2 .
Para partial^2 fpartial x partial y = partialpartial x ( 2x^6 y - 2x^2 y^5(x^4 + y^4)^2 ) :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, derivamos isso em relação a :
Esse cálculo fica um pouco complicado, mas vamos notar que quando avaliamos em , muitas das termos vão se simplificar.

Passo 4

Antes de complicar demais, vamos avaliar diretamente no ponto partial^2 fpartial x partial y(0,0) = limh to 0 partial fpartial y(h,0) - partial fpartial y(0,0)h .
Para calcular a derivada parcial segunda mista em partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 , podemos usar a definição de derivada:
f(h,0) = h^2 cdot 0^2h^4 + 0^4 = 0
Sabendo que partial fpartial y(h,0) = limk to 0 f(h,k) - f(h,0)k = limk to 0 h^2 k^2h^4 + k^4 - 0k = limk to 0 h^2 kh^4 + k^4 = 0 , calculamos partial^2 fpartial x partial y(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 . Usando a definição:
Agora, calculamos :
Então:
O mesmo vale para devido à simetria da função.

Resposta

Ambas as derivadas parciais segundas mistas no ponto partial^2 fpartial x partial y(0,0) = partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 0 são iguais a zero:

Exercícios relacionados