Calcule
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais segundas mistas de uma função
no ponto
. A função é definida de duas formas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, especialmente as segundas derivadas mistas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante.
Nosso objetivo é encontrar:
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, e depois derivar isso em relação a
.
Para
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Esse cálculo fica um pouco complicado, mas vamos notar que quando avaliamos em
, muitas das termos vão se simplificar.
Passo 4
Antes de complicar demais, vamos avaliar diretamente no ponto
.
Para calcular a derivada parcial segunda mista em
, podemos usar a definição de derivada:
Sabendo que
, calculamos
. Usando a definição:
Agora, calculamos
:
Então:
O mesmo vale para
devido à simetria da função.
Resposta
Ambas as derivadas parciais segundas mistas no ponto
são iguais a zero:
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
c)
Calcule, caso exista:
n)
n)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Seja
. Encontre
,
, prove que
é diferenciável em
e que
e
não são contínuas em
.