Calcule e para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais segundas mistas de uma função no ponto . A função é definida de duas formas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, especialmente as segundas derivadas mistas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante.
Nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , e depois derivar isso em relação a .
Para :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, derivamos isso em relação a :
Esse cálculo fica um pouco complicado, mas vamos notar que quando avaliamos em , muitas das termos vão se simplificar.

Passo 4

Antes de complicar demais, vamos avaliar diretamente no ponto .
Para calcular a derivada parcial segunda mista em , podemos usar a definição de derivada:
Sabendo que , calculamos . Usando a definição:
Agora, calculamos :
Então:
O mesmo vale para devido à simetria da função.

Resposta

Ambas as derivadas parciais segundas mistas no ponto são iguais a zero:

Exercícios relacionados

Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
Calcule, caso exista:
n)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
Seja . Encontre , , prove que é diferenciável em e que e não são contínuas em .