Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Isso está ligado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como comportamentos assintóticos funcionam quando
vai para menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que
, então podemos reescrever a expressão original assim:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a
.
Passo 3
Vamos analisar
. Para valores de
muito grandes em magnitude (negativos, no caso),
é um número pequeno. Podemos usar a aproximação do logaritmo para valores próximos a 1:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos isso por
:
À medida que
,
tende a 0, então o termo
desaparece, restando:
Passo 5
Agora que temos o limite do expoente, podemos voltar à expressão original:
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é contínua em
.
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(b)
(b)
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(a)
(a)
Seja
(b) Calcule .
(b) Calcule