Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
© lim x -infty(1-2x)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Isso está ligado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como comportamentos assintóticos funcionam quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que (1 - 2x)^x = e^x cdot ln(1 - 2x) , então podemos reescrever a expressão original assim:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende a .

Passo 3

Vamos analisar ln(1 + t) approx t - t^22 quando t é pequeno . Para valores de ln(1 - 2x) approx -2x - (-2x)^22 = -2x - 2x^2 muito grandes em magnitude (negativos, no caso), é um número pequeno. Podemos usar a aproximação do logaritmo para valores próximos a 1:
é
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos isso por x cdot ln(1 - 2x) approx x cdot (-2x - 2x^2) = -2 - 2x :
limx to -infty (-2 - 2x) = -2
À medida que , tende a 0, então o termo desaparece, restando:

Passo 5

Agora que temos o limite do expoente, podemos voltar à expressão original:
limx to -infty (1 - 2x)^x = e^-2

Resposta

O limite existe e é igual a .

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