Verifique se a função
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos ver se a função
é contínua em
. A função é definida de duas formas:
- Para
, - Para
,
Para checar a continuidade em
, precisamos garantir que o limite de
quando
se aproxima de 0 seja igual ao valor de
. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Como
, usamos a segunda parte da definição:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (ou seja,
). Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, então:
Multiplicando por
:
Como
quando
, pelo Teorema do Sanduíche, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (ou seja,
). Aqui, usamos a segunda parte da função:
Então, ambos os limites laterais são iguais a 0.
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite de
quando
se aproxima de 0 com o valor de
:
Isso satisfaz a condição de continuidade.
Resposta
A função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(b)
(b)
Seja
(a) Determine o domínio de .
(a) Determine o domínio de
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
©
©
Calcule, caso exista, o limite em cada um dos itens abaixo. Caso não exista, justifique.
(a)
(a)