Verifique se a função f(x) = { x^2 * cos(1/raiz(x)) se x > 0, |x| se x <= 0 } é contínua em x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos ver se a função é contínua em . A função é definida de duas formas:
  • Para ,
  • Para ,
Para checar a continuidade em , precisamos garantir que o limite de quando se aproxima de 0 seja igual ao valor de . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , usamos a segunda parte da definição:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita (ou seja, ). Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Multiplicando por :
Como quando , pelo Teorema do Sanduíche, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda (ou seja, ). Aqui, usamos a segunda parte da função:
Então, ambos os limites laterais são iguais a 0.

Passo 5

Finalmente, comparamos o limite de quando se aproxima de 0 com o valor de :
Isso satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

A função é contínua em .

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