Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1, lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 e lim x 1 f(x)-f(1)x-1, em que f(x)=lx^2, se x <= 1 2 x-1, se x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular três limites relacionados à função quando se aproxima de 1. A função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Esses limites vão nos ajudar a entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(1) = 1^2 = 1 . Como está na parte onde , usamos a primeira definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x) = 2x - 1 . O símbolo limx 1^+ (2x - 1) - 1x - 1 = limx 1^+ 2x - 2x - 1 significa que 2(x - 1)x - 1 = 2 está se aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que 1. Nesse caso, usamos a segunda definição da função:
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 2
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x) = x^2 . O símbolo limx 1^- x^2 - 1x - 1 indica que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) está se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1. Aqui, usamos a primeira definição da função:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1
Substituindo na expressão do limite:
limx 1^- (x + 1) = 2
Podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Por último, vamos ver o limite geral limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 2 . Para que esse limite exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais.
Como vimos:
limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = 2
Como os dois limites são iguais, o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

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