Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule
e
, em que
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular três limites relacionados à função
quando
se aproxima de 1. A função é definida de duas maneiras:
- Para
, - Para
,
Esses limites vão nos ajudar a entender como a função se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Como
está na parte onde
, usamos a primeira definição da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. O símbolo
significa que
está se aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que 1. Nesse caso, usamos a segunda definição da função:
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. O símbolo
indica que
está se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1. Aqui, usamos a primeira definição da função:
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Por último, vamos ver o limite geral
. Para que esse limite exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais.
Como vimos:
Como os dois limites são iguais, o limite geral existe e é igual a 2.
Resposta
O limite
existe e vale 2.