Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule e , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular três limites relacionados à função quando se aproxima de 1. A função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Esses limites vão nos ajudar a entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Como está na parte onde , usamos a primeira definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular . O símbolo significa que está se aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que 1. Nesse caso, usamos a segunda definição da função:
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . O símbolo indica que está se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1. Aqui, usamos a primeira definição da função:
Substituindo na expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Por último, vamos ver o limite geral . Para que esse limite exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais.
Como vimos:
Como os dois limites são iguais, o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo :
Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
a) .
Exercício 46. Em caso afirmativo, determine os pontos onde é descontínua. Justificando sua resposta.
Usando derivação implícita, calcule :