Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais (). Isso envolve o conceito de continuidade de funções, onde uma função é contínua se não tem “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico. Precisamos garantir que as partes da função se conectem direitinho nos pontos onde elas se juntam, que nesse caso são e .
Passo 2
Vamos olhar para a função e identificar onde ela muda de expressão:
Temos duas “juntas” onde a função muda de expressão: em e em . Para a função ser contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.
Passo 3
Primeiro, vamos garantir a continuidade em .
Para :
Limite pela esquerda ():
Usamos a primeira expressão da função:
Limite pela direita ():
Usamos a segunda expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em .
Para :
Limite pela esquerda ():
Usamos a segunda expressão da função:
Limite pela direita ():
Usamos a terceira expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:
Sabemos que (do Passo 3), então substituímos:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em todo são: