Encontre os valores de a e b que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo R.
a) f(x)=l2 x^3+x+7, se x in(-infty,-1] a(x+1)+b, se x in(-1,2] x^2+5, se x in(2,+infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). Isso envolve o conceito de continuidade de funções, onde uma função é contínua se não tem “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico. Precisamos garantir que as partes da função se conectem direitinho nos pontos onde elas se juntam, que nesse caso são e .

Passo 2

Vamos olhar para a função f(x) = 2x^3 + x + 7, & se x <= -1 a(x + 1) + b, & se -1 < x <= 2 x^2 + 5, & se x > 2 e identificar onde ela muda de expressão:
Temos duas “juntas” onde a função muda de expressão: em e em . Para a função ser contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Primeiro, vamos garantir a continuidade em f(-1) = 2(-1)^3 + (-1) + 7 = 2(-1) -1 +7 = -2 -1 +7 = 4 .
Para f(-1) = a(-1 + 1) + b = a(0) + b = b :
  • Limite pela esquerda ( 4 = b Rightarrow b = 4 ):
    Usamos a primeira expressão da função:
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a segunda expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em f(2) = a(2 + 1) + b = 3a + b .
Para f(2) = (2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9 :
  • Limite pela esquerda ( 3a + b = 9 ):
    Usamos a segunda expressão da função:
    3a + 4 = 9 Rightarrow 3a = 5 Rightarrow a = 53
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a terceira expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:
Sabemos que (do Passo 3), então substituímos:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em todo a = 53 e b = 4 são:

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