Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). Isso envolve o conceito de continuidade de funções, onde uma função é contínua se não tem “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico. Precisamos garantir que as partes da função se conectem direitinho nos pontos onde elas se juntam, que nesse caso são e .

Passo 2

Vamos olhar para a função e identificar onde ela muda de expressão:
Temos duas “juntas” onde a função muda de expressão: em e em . Para a função ser contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Primeiro, vamos garantir a continuidade em .
Para :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Usamos a primeira expressão da função:
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a segunda expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em .
Para :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Usamos a segunda expressão da função:
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a terceira expressão da função:
Para a função ser contínua em , esses limites devem ser iguais:
Sabemos que (do Passo 3), então substituímos:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em todo são:

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo :
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule e , em que