Exercício 46. Em caso afirmativo, determine os pontos onde
é descontínua. Justificando sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A matéria em questão é continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como identificar pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
em todos os pontos do seu domínio. Observando a definição da função, vemos que ela está dividida em duas partes:
-
para -
para
A primeira parte,
, é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde está definida, ou seja, para
.
Passo 4
O ponto crítico é
, onde a definição da função muda. Vamos verificar a continuidade nesse ponto.
Primeiro, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 2:
Ao nos aproximarmos de 2 pela direita (
),
fica pequeno e positivo, então o limite tende a
.
Ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda (
),
fica pequeno e negativo, então o limite tende a
.
Como os limites laterais são diferentes e tendem a valores infinitos opostos, o limite geral
não existe.
Passo 5
Agora, verificamos o valor de
, que é definido como 3. Mesmo que o limite existisse, precisaríamos que ele fosse igual a 3 para que a função fosse contínua em
. Mas, como vimos, o limite não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de 2 não existe, a função
é descontínua em
.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule e
, em que
c) Calcule
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo
:
Usando derivação implícita, calcule
:
Calcule os limites a seguir.
b)
b)