Exercício 46. Em caso afirmativo, determine os pontos onde é descontínua. Justificando sua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A matéria em questão é continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como identificar pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função em todos os pontos do seu domínio. Observando a definição da função, vemos que ela está dividida em duas partes:
  1. para
  2. para
A primeira parte, , é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde está definida, ou seja, para .

Passo 4

O ponto crítico é , onde a definição da função muda. Vamos verificar a continuidade nesse ponto.
Primeiro, calculamos o limite de quando se aproxima de 2:
Ao nos aproximarmos de 2 pela direita ( ), fica pequeno e positivo, então o limite tende a .
Ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda ( ), fica pequeno e negativo, então o limite tende a .
Como os limites laterais são diferentes e tendem a valores infinitos opostos, o limite geral não existe.

Passo 5

Agora, verificamos o valor de , que é definido como 3. Mesmo que o limite existisse, precisaríamos que ele fosse igual a 3 para que a função fosse contínua em . Mas, como vimos, o limite não existe.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de 2 não existe, a função é descontínua em .

Resposta

A função é descontínua no ponto .

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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule e , em que
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo :
Usando derivação implícita, calcule :
Calcule os limites a seguir.
b)