Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como o Teorema do Valor Intermediário funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação:
Agora, vamos calcular o valor dessa função nas extremidades do intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Observamos que:
Isso significa que a função
assume um valor negativo em
e um valor positivo em
.
Passo 5
Sabemos que
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Ou seja, não tem “quebras” ou “pulos”.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos
e
, então existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde
.
Passo 7
Aplicando o teorema:
-
(negativo) -
(positivo)
Comoé contínua e passa de negativo para positivo no intervalo , existe pelo menos um valor nesse intervalo tal que .
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma solução no intervalo
.