Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação abaixo possui solução no intervalo :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como o Teorema do Valor Intermediário funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que está na equação:
Agora, vamos calcular o valor dessa função nas extremidades do intervalo .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Observamos que:
Isso significa que a função assume um valor negativo em e um valor positivo em .

Passo 5

Sabemos que é um polinômio, e polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Ou seja, não tem “quebras” ou “pulos”.

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos e , então existe pelo menos um ponto no intervalo onde .

Passo 7

Aplicando o teorema:
  • (negativo)
  • (positivo)
    Como é contínua e passa de negativo para positivo no intervalo , existe pelo menos um valor nesse intervalo tal que .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma solução no intervalo .

Exercícios relacionados

Encontre os valores de e que tornam as funções abaixo sejam contínuas em todo .
a) .
Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para .
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) Calcule e , em que
Exercício 46. Em caso afirmativo, determine os pontos onde é descontínua. Justificando sua resposta.